2016-上海卷理-11 填-数列

本题导读

本题考查数列前 n 项和的性质，以及由 $S_n$ 反推通项 $a_n$ 的关系。核心在于利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 分析相邻项差的取值。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(理)） 无穷数列 $\{a_n\}$ 由 $k$ 个不同的数组成，$S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$S_n\in \{2,3\}$，则 $k$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 S_n 反推 a_n：当 $n\ge 2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}$，因 $S_n,S_{n-1}\in \{2,3\}$，故 $a_n\in \{-1,0,1\}$；而 $a_1=S_1\in \{2,3\}$。
2. 构造最多不同数：首项可取 2 或 3（一种），其余项在 $\{-1,0,1\}$ 中取值，尝试同时凑出 $\{-1,0,1\}$ 三个数。
3. 验证可行性：构造 $S_1=2,S_2=3,S_3=3,S_4=2$，得 $a_1=2,a_2=1,a_3=0,a_4=-1$，恰好出现 $\{2,1,0,-1\}$ 共 4 个不同数。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

解： 当 $n\ge 2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}$。 因为 $S_n,S_{n-1}\in \{2,3\}$，所以 $a_n\in \{-1,0,1\}$。 而 $a_1=S_1\in \{2,3\}$。

因此 $\{a_n\}$ 中所有项只可能取 $\{-1,0,1,2,3\}$ 这五个数。 但 $a_1$ 只能取 2 或 3 中的一个，且当 $a_1=2$ 时 $a_2\in \{0,1\}$，当 $a_1=3$ 时 $a_2\in \{-1,0\}$， 故无法同时凑出 $-1$ 和 $1$ 之外的更复杂组合，最多只能取 4 个不同数。

构造：令 $S_1=2,S_2=3,S_3=3,S_4=2$，则 $a_1=2,a_2=1,a_3=0,a_4=-1$。 此后 $S_n$ 在 $\{2,3\}$ 中取值即可，$a_n$（$n\ge 5$）只取 $\{-1,0,1\}$，不再出现新数。

故 $k$ 的最大值为 4。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 关系转化：$a_n=S_n-S_{n-1}$（$n\ge 2$）与 $a_1=S_1$ 是连接通项与和的关键，先确定各项的取值集合。
• 构造证明：求“最大值”类问题，需同时说明“不超过”（上界）与“可以取到”（构造），二者缺一不可。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若将 $\{2,3\}$ 改为 $\{1,2,3\}$，$a_n$ 的取值集合会扩大为 $\{-2,-1,0,1,2\}$，k 的最大值会相应增大，可类比讨论。
• 知识关联：本题本质是离散序列的“变化量”分析，与数列单调性、项与和的互推密切相关。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-19 解-数列综合
• 2017-上海卷-10 填-数列通项
• 2016-上海卷文-14 填-数列

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