2017-上海卷-10 填-数列通项

本题导读

本题考查数列的概念与通项公式，以及对数的运算性质。

📌【题干】

Question

（2017年上海卷） 已知数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$，其中 $a_n=n^2,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$\{b_n\}$ 的项是互不相等的正整数.若对于任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$\{b_n\}$ 的第 $a_n$ 项等于 $\{a_n\}$ 的第 $b_n$ 项，则 $\frac{\lg (b_1{b}_4{b}_9{b}_{16})}{\lg (b_1{b}_2{b}_3{b}_4)}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 理解题意：

• $\{b_n\}$ 的第 $a_n$ 项即 $b_{a_n}$。
• $\{a_n\}$ 的第 $b_n$ 项即 $a_{b_n}$。
• 题目给定关系：$b_{a_n}=a_{b_n}$。

2. 建立通项关系：

• 已知 $a_n=n^2$，则 $a_{b_n}=(b_n{)}^2$。
• 代入已知关系：$b_{n^2}=(b_n{)}^2$。

3. 计算目标项：

• 令 $n=1$：$b_{1^2}=(b_1{)}^2\Rightarrow b_1=b_1^2$。由于 $b_n$ 是正整数，得 $b_1=1$。
• 令 $n=2$：$b_{2^2}=(b_2{)}^2\Rightarrow b_4=b_2^2$。
• 令 $n=3$：$b_{3^2}=(b_3{)}^2\Rightarrow b_9=b_3^2$。
• 令 $n=4$：$b_{4^2}=(b_4{)}^2\Rightarrow b_{16}=b_4^2$。

4. 利用对数性质求解：

• 分子 $b_1{b}_4{b}_9{b}_{16}=b_1^2\cdot b_2^2\cdot b_3^2\cdot b_4^2=(b_1{b}_2{b}_3{b}_4{)}^2$。
• 利用对数幂性质 $\lg M^k=k\lg M$ 即可得出答案。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

【答案】 2 【解析过程】 因为 $a_n=n^2$，根据题意“$\{b_n\}$ 的第 $a_n$ 项等于 $\{a_n\}$ 的第 $b_n$ 项”，得： $b_{a_n}=a_{b_n}$ 即 $b_{n^2}=(b_n{)}^2$ 对一切 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 恒成立。 由此可得： $b_1=b_{1^2}=b_1^2\Rightarrow b_1=1$； $b_4=b_{2^2}=b_2^2$； $b_9=b_{3^2}=b_3^2$； $b_{16}=b_{4^2}=b_4^2$。 那么： $b_1{b}_4{b}_9{b}_{16}=b_1^2\cdot b_2^2\cdot b_3^2\cdot b_4^2=(b_1{b}_2{b}_3{b}_4{)}^2$ 代入目标式中： $\frac{\lg (b_1{b}_4{b}_9{b}_{16})}{\lg (b_1{b}_2{b}_3{b}_4)}=\frac{\lg (b_1{b}_2{b}_3{b}_4{)}^2}{\lg (b_1{b}_2{b}_3{b}_4)}=\frac{2\lg (b_1{b}_2{b}_3{b}_4)}{\lg (b_1{b}_2{b}_3{b}_4)}=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数列嵌套表达：理解 $b_{a_n}$ 和 $a_{b_n}$ 的物理含义是解题突破口。这在抽象函数或新定义数列中非常常见。
• 对数恒等式：本题利用了 $\lg A^n=n\lg A$，避开了对 $b_n$ 具体取值的求解，体现了整体代换的思想。
• 隐含条件：$b_1=1$ 虽然在最终比值中不影响结果，但在逻辑推导中是基于 $b_n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ 确定的。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷文-17 解-数列通项
• 2014-湖南卷理-20 解-数列通项
• 2018-全国卷I理-14 填-数列通项