2016-上海卷理-21 解-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质（渐近线、焦点）、直线与圆锥曲线的位置关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(理)） 双曲线 $x^2-\frac{y^2}{b^2}=1(b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，直线 $l$ 过 $F_2$ 且与双曲线交于 $A,B$ 两点.

(1)若 $l$ 的倾斜角为 $\frac{\pi }{2}$，$△F_{1}AB$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

(2)设 $b=\sqrt{3}$，若 $l$ 的斜率存在，且 $(\overrightarrow{F_{1}A}+\overrightarrow{F_{1}B})\cdot \overrightarrow{AB}=0$，求 $l$ 的斜率.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求渐近线）：

• 特殊位置：倾斜角为 $\frac{\pi }{2}$ 说明 $l\perp x$ 轴，此时 $x_A=x_B=c$。
• 长度转换：在等边三角形中，高 $F_1{F}_2=\frac{\sqrt{3}}{2}|AB|$。已知 $F_1{F}_2=2c$，$|AB|=2|y_A|$。
• 联立求解：利用点 $A(c,y_A)$ 在双曲线上，建立 $b,c,a$ 的关系，求出 $\frac{b}{a}$ 即可得到渐近线。

2. 第二问（求斜率）：

• 转化条件：$\overrightarrow{F_{1}A}+\overrightarrow{F_{1}B}=2\overrightarrow{F_{1}M}$（$M$ 为 $AB$ 中点）。故条件等价于 $F_{1}M\perp AB$。
• 斜率关系：设 $l$ 斜率为 $k$，则直线 $F_{1}M$ 的斜率 $k_{F_{1}M}=-\frac{1}{k}$。
• 方程联立：设 $l:y=k(x-c)$，与双曲线联立，利用韦达定理表示出 $M$ 点坐标，代入斜率乘积为 $-1$ 的方程求解。

✅【答案】

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（1）渐近线为𝑦=±√2𝑥.（2）𝑙的斜率为±√155.

✍【详细解析】

Abstract

解： （1）由题意，$l\perp x$ 轴，且过 $F_2(c,0)$，其中 $c=\sqrt{1+b^2}$。 令 $x=c$ 代入 $x^2-\frac{y^2}{b^2}=1$，得 $c^2-\frac{y^2}{b^2}=1⟹y^2=b^2(c^2-1)=b^4$。 故 $|y_A|=b^2$。 在 $△F_{1}AB$ 中，$F_1{F}_2\perp AB$，且 $F_1{F}_2=2c,|AB|=2b^2$。 若 $△F_{1}AB$ 为等边三角形，则其高 $F_1{F}_2=\frac{\sqrt{3}}{2}|AB|$。 即 $2c=\sqrt{3}{b}^2⟹4c^2=3b^4$。 代入 $c^2=1+b^2$ 得：$4(1+b^2)=3b^4⟹3b^4-4b^2-4=0$。 解得 $b^2=2$ 或 $b^2=-\frac{2}{3}$（舍）。 因为 $a=1$，所以渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \sqrt{2}x$。

（2）当 $b=\sqrt{3}$ 时，双曲线方程为 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$，焦点 $F_1(-2,0),F_2(2,0)$。 设 $l:y=k(x-2)$ ($k\ne 0$)，联立方程组： $\{\begin{array}{l}3x^2-y^2=3\\ y=k(x-2)\end{array}⟹(3-k^2)x^2+4k^{2}x-(4k^2+3)=0$。 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，$AB$ 中点 $M(x_M,y_M)$。 由韦达定理：$x_1+x_2=\frac{4k^2}{k^2-3}$，则 $x_M=\frac{2k^2}{k^2-3}$。 $y_M=k(x_M-2)=k(\frac{2k^2-2k^2+6}{k^2-3})=\frac{6k}{k^2-3}$。 因为 $(\overrightarrow{F_{1}A}+\overrightarrow{F_{1}B})\cdot \overrightarrow{AB}=0$，即 $2\overrightarrow{F_{1}M}\cdot \overrightarrow{AB}=0$， 所以 $F_{1}M\perp AB$，即 $k_{F_{1}M}\cdot k=-1$。 $k_{F_{1}M}=\frac{y_M-0}{x_M-(-2)}=\frac{\frac{6k}{k^2-3}}{\frac{2k^2+2k^2-6}{k^2-3}}=\frac{6k}{4k^2-6}=\frac{3k}{2k^2-3}$。 代入 $\frac{3k}{2k^2-3}\cdot k=-1$ 得： $3k^2=-(2k^2-3)⟹5k^2=3⟹k^2=\frac{3}{5}$。 解得 $k=\pm \frac{\sqrt{15}}{5}$。 此时 $\Delta =36(1+k^2)>0$ 且 $k^2\ne 3$ 成立。 故直线 $l$ 的斜率为 $\pm \frac{\sqrt{15}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 向量几何化：$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PM}$ 是解析几何中处理中点轨迹或垂直关系的常用转化手段。
• 计算技巧：在求 $k_{F_{1}M}$ 时，分子分母的分母 $(k^2-3)$ 通常可以直接约掉，能有效简化计算量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：第(2)问条件 $(\overrightarrow{F_{1}A}+\overrightarrow{F_{1}B})\cdot \overrightarrow{AB}=0$ 即 $2\overrightarrow{F_{1}M}\cdot \overrightarrow{AB}=0$（$M$ 为弦 $AB$ 中点），等价于 $F_{1}M\perp AB$；若改为 $(\overrightarrow{F_{1}A}+\overrightarrow{F_{1}B})\cdot \overrightarrow{F_1{F}_2}=0$，则等价于 $M$ 的横坐标为 $-c$，同法联立可解。
2. 知识关联：“向量和等于中点向量的两倍”与“垂直即数量积为零”是解析几何处理弦问题的两把标准钥匙，与点差法求中点轨迹、通径长 $\frac{2b^2}{a}$ 等结论相通。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-06 填-双曲线
• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III文-14 填-双曲线

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