2017-全国卷III文-14 填-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的渐近线方程，以及由渐近线斜率求参数。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(文)） 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}=1$ ($a>0$) 的一条渐近线方程为 $y=\frac{3}{5}x$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
2. 由 $b^2=9$、渐近线斜率 $\frac{3}{5}=\frac{b}{a}$ 求 $a$。

✅【答案】

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$5$

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}=1$ 中 $b^2=9$，即 $b=3$。 渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{3}{a}x$。 已知一条渐近线为 $y=\frac{3}{5}x$，故 $\frac{3}{a}=\frac{3}{5}$，得 $a=5$。 故答案为：$5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线方程。
2. 核心方法：$\frac{b}{a}$ 与渐近线斜率对应。
3. 避坑指南：渐近线斜率为 $\frac{b}{a}$（焦点在 $x$ 轴），勿颠倒为 $\frac{a}{b}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考双曲线基础题。
2. 结论推广：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-08 单-双曲线
• 2015-新课标I卷文-16 填-双曲线
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线