2016-全国卷I文-05 单-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的几何性质与离心率、点到直线的距离公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(文)） 直线 $l$ 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 $l$ 的距离为其短轴长的 $\frac{1}{4}$，则该椭圆的离心率为 ()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　D. $\frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确直线 $l$ 所经过的椭圆顶点与焦点坐标（通常为短轴顶点与焦点）。
2. 写出直线 $l$ 的截距式或一般式方程，利用点到直线的距离公式计算原点到该直线的距离。
3. 建立关于 $a,b,c$ 的齐次方程，求出离心率 $e=\frac{c}{a}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$。 直线 $l$ 经过椭圆的一个顶点（不妨设为短轴顶点 $(0,b)$）和一个焦点（不妨设为 $(c,0)$）。 直线 $l$ 的截距式方程为 $\frac{x}{c}+\frac{y}{b}=1$，即 $bx+cy-bc=0$。 椭圆中心 $(0,0)$ 到直线 $l$ 的距离为： $d=\frac{|-bc|}{\sqrt{b^2+c^2}}=\frac{bc}{a}$（因为 $a^2=b^2+c^2$）。 已知该距离为其短轴长 $2b$ 的 $\frac{1}{4}$，即 $d=\frac{1}{4}\cdot (2b)=\frac{1}{2}b$。 所以 $\frac{bc}{a}=\frac{1}{2}b⟹\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。 故离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的离心率、点到直线的距离公式。
2. 核心方法：数形结合与方程思想。
3. 避坑指南：注意椭圆顶点选择长轴顶点还是短轴顶点，若选长轴顶点 $(a,0)$ 和焦点 $(c,0)$ 则直线为 $x$ 轴，中心到其距离为 0 不合题意，故只能选短轴顶点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：圆锥曲线几何性质综合题。
2. 结论推广：椭圆特殊直线系与距离的结合是高考高频考点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

B

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-上海卷-20 解-椭圆综合
• 2017-全国卷III文-11 单-椭圆

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