2016-全国卷I文-08 单-对数

本题导读

本题考查不等式的性质、指数函数与对数函数的单调性，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(文)） 若 $a>b>0,0<c<1$，则 ()

A. ${\log }_{a}c<{\log }_{b}c$　　　B. ${\log }_{c}a<{\log }_{c}b$　　　C. $a^c<b^c$　　　D. $c^a>c^b$

🔍【思路分析】

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方法一（特值法）： 令 $a=2,b=1,c=\frac{1}{2}$（满足 $a>b>0,0<c<1$），代入各个选项进行验证。 方法二（单调性法）： 根据对数函数、指数函数的底数范围及单调性逐一判断。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

用特值法验证： 设 $a=2,b=1$ 不满足 $a>b>0$ 的严格不等式，可以取 $a=2,b=\frac{1}{2}$ 或更简单的数字： 设 $a=3,b=2,c=\frac{1}{2}$。

• 对于 (A)：${\log }_3\frac{1}{2}$ 与 ${\log }_2\frac{1}{2}$。因为 ${\log }_3\frac{1}{2}>-1$ 而 ${\log }_2\frac{1}{2}=-1$，所以 ${\log }_{a}c>{\log }_{b}c$，故 (A) 错误；
• 对于 (B)：${\log }_{\frac{1}{2}}3$ 与 ${\log }_{\frac{1}{2}}2$。因为底数 $\frac{1}{2}<1$，函数 $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ 单调递减，且 $3>2$，所以 ${\log }_{\frac{1}{2}}3<{\log }_{\frac{1}{2}}2$，即 ${\log }_{c}a<{\log }_{c}b$ 成立；
• 对于 (C)：$a^c=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$，$b^c=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$，此时 $a^c>b^c$，故 (C) 错误；
• 对于 (D)：$c^a={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$，$c^b={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$，此时 $c^a<c^b$，故 (D) 错误。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数函数与对数函数的单调性。
2. 核心方法：特值代入法、单调性分析法。
3. 避坑指南：当底数小于 1 时，指数函数和对数函数均具有单调递减性，比较大小时注意变号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：指数与对数大小比较及性质的常规选择题。
2. 结论推广：利用特殊值法能快速排除选择题中的错误选项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II文-08 单-对数函数
• 2017-全国卷I文-09 单-对数函数
• 2017-上海卷-03 填-分式不等式

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