2016-全国卷I文-13 填-向量

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算、向量垂直的充要条件，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(文)） 设向量 $\mathbf{a}=(x,x+1),\mathbf{b}=(1,2)$，且 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$，则 $x=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 两向量垂直的充要条件为其数量积等于 0。
2. 利用坐标公式计算 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 并解方程。

✅【答案】

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$-\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\mathbf{a}=(x,x+1),\mathbf{b}=(1,2)$，且 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$， 所以 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=x\cdot 1+(x+1)\cdot 2=0$。 展开化简得： $x+2x+2=0⟹3x=-2⟹x=-\frac{2}{3}$。 故答案为 $-\frac{2}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量垂直与数量积坐标公式。
2. 核心方法：列方程直接求解法。
3. 避坑指南：注意数量积公式为 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$，切勿写成坐标相除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：平面向量基础填空题。
2. 结论推广：向量垂直对应 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$，平行对应 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III理-12 单-向量
• 2017-全国卷II文-04 单-向量垂直

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