2016-全国卷I文-17 解-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式、等比数列的通项与前 $n$ 项和。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(文)） 已知 $\{a_n\}$ 是公差为 $3$ 的等差数列，数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1=1,b_2=\frac{1}{3}$，$a_n{b}_{n+1}+b_{n+1}=n{b}_n$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 求 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：利用等差数列公差 $d=3$，设 $a_n=3n+k$，结合 $n=1$ 时的已知条件 $a_1{b}_2+b_2=1\cdot b_1$ 求出首项 $a_1$，进而得到 $a_n$。
2. 第 (2) 问：将 $a_n$ 代入递推式化简得出 $\{b_n\}$ 为等比数列，再利用等比数列求和公式求解。

✅【答案】

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$an=3n-1；Sn=32-12\cdot 3n-1.$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d=3$。 当 $n=1$ 时，由已知 $a_1{b}_2+b_2=1\cdot b_1$， 代入 $b_1=1,b_2=\frac{1}{3}$ 得： $a_1\times \frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1⟹\frac{a_1+1}{3}=1⟹a_1=2$。 所以等差数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1$。

(2) 由 $a_n=3n-1$ 代入递推式 $a_n{b}_{n+1}+b_{n+1}=n{b}_n$ 得： $(3n-1+1)b_{n+1}=n{b}_n⟹3n{b}_{n+1}=n{b}_n$。 因为对任意正整数 $n$，$n\ge 1$，所以 $3b_{n+1}=b_n$，即 $\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{1}{3}$。 又因为 $b_1=1$， 所以数列 $\{b_n\}$ 是以 $1$ 为首项，$\frac{1}{3}$ 为公比的等比数列，其通项公式为 $b_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$。 设 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则： $S_n=\frac{1\cdot \left[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right]}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}\left[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项、数列递推关系化简、等比数列求和。
2. 核心方法：赋值法求首项与化简递推式法。
3. 避坑指南：在根据递推式约去 $n$ 时需确保 $n\ge 1$，且注意等比数列求和公式中公比不为 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考数列解答题第一题的标准模式。
2. 结论推广：形如 $(f(n))b_{n+1}=n{b}_n$ 的递推关系通常通过因式分解或代入转化为等比或等差数列。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-15 单-等差数列
• 2017-全国卷III理-09 单-等差数列
• 2017-全国卷III理-14 填-等比数列

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