2016-全国卷I理-04 单-几何概型

本题导读

本题考查几何概型、长度型几何概型，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(理)） 某公司的班车在 $7:30,8:00,8:30$ 发车，小明在 $7:50$ 至 $8:30$ 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 $10$ 分钟的概率是 ()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　D. $\frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定总体时间跨度：小明到达的时间范围是 $7:50$ 到 $8:30$，总时长为 $40$ 分钟。
2. 分析满足条件的时刻段：

• 若要赶上 $8:00$ 的班车且等车不超过 $10$ 分钟，他必须在 $7:50$ 到 $8:00$ 之间到达。时长：$10$ 分钟。
• 若要赶上 $8:30$ 的班车且等车不超过 $10$ 分钟，他必须在 $8:20$ 到 $8:30$ 之间到达。时长：$10$ 分钟。
• 注意：在 $8:00$ 到 $8:20$ 到达时，他只能等 $8:30$ 的车，等车时间会超过 $10$ 分钟。

3. 计算概率：概率 $P=\frac{\text{满足条件的时间长度}}{\text{总时间长度}}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 总体长度：小明到达的时间区间为 $[7:50,8:30]$，总时长为 $40$ 分钟。
2. 有利长度：

• 乘坐 $8:00$ 的车：等车时间 $\le 10$ 分钟，则到达时刻 $y\in [7:50,8:00]$。时长为 $10$ 分钟。
• 乘坐 $8:30$ 的车：等车时间 $\le 10$ 分钟，则到达时刻 $y\in [8:20,8:30]$。时长为 $10$ 分钟。

3. 计算结果： 满足等车时间不超过 $10$ 分钟的总时长为 $10+10=20$ 分钟。 故 $P=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 几何概型核心：概率只与区域的测度（长度、面积或体积）成正比。
• 易错点：忽略了 $8:00$ 后到 $8:20$ 这一段。这部分由于 $8:00$ 的车已走，小明必须等 $8:30$ 的车，等车时间由 $30$ 分钟递减至 $10$ 分钟，只有最后 $10$ 分钟符合要求。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若小明到达时刻改为 $7:10$ 至 $8:30$ 之间（时长 80 分钟），等车不超过 10 分钟的时段为 $[7:20,7:30]$、$[7:50,8:00]$、$[8:20,8:30]$ 三段，概率为 $\frac{30}{80}=\frac{3}{8}$。
2. 知识关联：“等车问题”是长度型几何概型的经典模型，关键把“等车时间不超过 t”翻译成到达时刻的达标区间；与两人约会的二维面积型概型对比，可体会测度（长度、面积）选取的重要性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

B

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷I文-04 单-几何概型
• 2017-全国卷I理-02 单-几何概型
• 2014-湖南卷文-05 单-几何概型

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