2016-全国卷II文-08 单-几何概型

本题导读

本题考查几何概型、概率与时间区域的关系，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(文)） 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 $40$ 秒. 若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 $15$ 秒才出现绿灯的概率为 ()

A. $\frac{7}{10}$　　　　　　B. $\frac{5}{8}$　　　　　　C. $\frac{3}{8}$　　　　　　D. $\frac{3}{10}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设红灯总持续时间为 $40$ 秒，行人到达路口遇到红灯的时刻是均匀随机的。
2. 若要满足“至少需要等待 $15$ 秒才出现绿灯”，说明行人到达时，红灯还剩下至少 $15$ 秒的时间。
3. 利用几何概型（长度之比）求解概率。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

设红灯持续的时间区间为 $[0,40]$ 秒。 行人到达时，若恰好在红灯期间，其到达的时刻 $t$ 是随机均匀分布在 $[0,40]$ 上的。 “至少需要等待 $15$ 秒才出现绿灯”意味着红灯剩余时间大于或等于 $15$ 秒，即行人在红灯开始的前 $40-15=25$ 秒内到达。 因此，满足条件的时刻 $t$ 的区间长度为 $25$ 秒。 总的红灯时间长度为 $40$ 秒。 故所求概率为 $P=\frac{25}{40}=\frac{5}{8}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：几何概型与时间长度之比。
2. 核心方法：区间长度比值法。
3. 避坑指南：注意“至少等待 15 秒”对应的是前 $40-15=25$ 秒，切勿把区间搞反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考概率中常见的几何概型与生活实际结合题。
2. 结论推广：时间型几何概型通常转化为区间长度或面积之比。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-18 解-频率估计概率
• 2017-全国卷I文-04 单-几何概型
• 2017-全国卷I理-02 单-几何概型

专题合集 (Series)