2017-全国卷III文-18 解-频率估计概率

本题导读

本题考查利用频数分布表频率估计概率。核心在于确定进货量为 450 瓶时利润 $Y$ 的所有可能取值及其概率。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(文)） 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：${}^{\circ }\text{C}$）有关.如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 $[20,25)$，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温	$[10,15)$	$[15,20)$	$[20,25)$	$[25,30)$	$[30,35)$	$[35,40)$
天数	2	16	36	25	7	4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

(1) 估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；

(2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 $Y$（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 $Y$ 的所有可能值，并估计 $Y$ 大于零的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：统计需求量不超过 300 瓶（即最高气温低于 25）的天数，除以总天数得概率。
2. 第(2)问：进货量固定 450 瓶，按需求量 200/300/500 三种情况分别计算利润 $Y$，并求 $Y>0$ 的概率。

✅【答案】

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(1) $\frac{3}{5}$

(2) $Y$ 的可能取值为 $-100$、$300$、$900$；$P(Y>0)=\frac{4}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 总天数 $=2+16+36+25+7+4=90$。 需求量不超过 300 瓶，即最高气温低于 25，对应区间 $[10,15)$、$[15,20)$、$[20,25)$，天数为 $2+16+36=54$。 故概率为 $\frac{54}{90}=\frac{3}{5}$。

(2) 进货量为 450 瓶。

• 若需求量为 500 瓶（最高气温不低于 25）：售出 500 瓶，但进货仅 450 瓶，利润 $Y=6\times 450-4\times 450=900$（元）；
• 若需求量为 300 瓶：售出 300 瓶，剩余 $450-300=150$ 瓶降价处理，$Y=6\times 300+2\times 150-4\times 450=1800+300-1800=300$（元）；
• 若需求量为 200 瓶：售出 200 瓶，剩余 $450-200=250$ 瓶降价处理，$Y=6\times 200+2\times 250-4\times 450=1200+500-1800=-100$（元）。

所以 $Y$ 的可能取值为 $-100$、$300$、$900$。 $Y>0$ 对应需求量为 300 或 500 瓶，其概率为 $\frac{36+25+7+4}{90}=\frac{72}{90}=\frac{4}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率估计概率、利润计算、随机变量取值与概率。
2. 核心方法：分类列举。
3. 避坑指南：进货量 450 瓶时，需求量为 500 瓶只能售出 450 瓶；降价处理的部分要单独按 2 元/瓶计价。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考概率统计应用题。
2. 结论推广：利润类应用题按需求量分情况列举，再按频率估计概率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷文-19 解-频率估计概率
• 2007-大纲卷I文-13 填-用频率估计概率
• 2024-甲卷理-16 填-概率