2016-全国卷II文-17 解-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式与基本量、取整函数（高斯函数）的性质与求和。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(文)） 等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_3+a_4=4,a_5+a_7=6$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 设 $b_n=[a_n]$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $10$ 项和，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[0.9]=0,[2.6]=2$.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：设等差数列首项为 $a_1$，公差为 $d$，根据已知条件列出关于 $a_1,d$ 的二元一次方程组，求出通项公式。
2. 第 (2) 问：根据 $a_n$ 的表达式，分析 $b_n=[a_n]$ 在前 10 项中的取值规律，分段求和。

✅【答案】

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$an=3n-1；Sn=32-12\cdot 3n-1.$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 由已知 $a_3+a_4=4$ 和 $a_5+a_7=6$ 可得： $\{\begin{array}{l}(a_1+2d)+(a_1+3d)=4\\ (a_1+4d)+(a_1+6d)=6\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2a_1+5d=4\\ 2a_1+10d=6\end{array}$ 两式相减得： $5d=2⟹d=\frac{2}{5}$。 代入得 $2a_1+5\left(\frac{2}{5}\right)=4⟹2a_1+2=4⟹2a_1=2⟹a_1=1$。 因此，等差数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\frac{2}{5}=\frac{2}{5}n+\frac{3}{5}$。

(2) 由 $b_n=[a_n]=\left[\frac{2}{5}n+\frac{3}{5}\right]$，我们计算前 10 项 $a_n$ 的具体数值及取整结果：

• 当 $n=1$ 时，$a_1=1⟹b_1=[1]=1$；
• 当 $n=2$ 时，$a_2=\frac{7}{5}=1.4⟹b_2=[1.4]=1$；
• 当 $n=3$ 时，$a_3=\frac{9}{5}=1.8⟹b_3=[1.8]=1$；
• 当 $n=4$ 时，$a_4=\frac{11}{5}=2.2⟹b_4=[2.2]=2$；
• 当 $n=5$ 时，$a_5=\frac{13}{5}=2.6⟹b_5=[2.6]=2$；
• 当 $n=6$ 时，$a_6=\frac{15}{5}=3⟹b_6=[3]=3$；
• 当 $n=7$ 时，$a_7=\frac{17}{5}=3.4⟹b_7=[3.4]=3$；
• 当 $n=8$ 时，$a_8=\frac{19}{5}=3.8⟹b_8=[3.8]=3$；
• 当 $n=9$ 时，$a_9=\frac{21}{5}=4.2⟹b_9=[4.2]=4$；
• 当 $n=10$ 时，$a_{10}=\frac{23}{5}=4.6⟹b_{10}=[4.6]=4$。

将这 10 项的取整值相加： $S_{10}=b_1+b_2+b_3+b_4+b_5+b_6+b_7+b_8+b_9+b_{10}$ $=1+1+1+2+2+3+3+3+4+4$ $=3+4+9+8=24$。 故数列 $\{b_n\}$ 的前 10 项和为 $24$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项、高斯取整函数性质、数列求和。
2. 核心方法：逐项列举与分类求和法。
3. 避坑指南：处理取整函数时切忌盲目套用公式，由于值域为离散整数，逐项代入计算是最稳妥的方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：全国卷数列解答题中引入新定义（取整函数）的创新题。
2. 结论推广：高斯函数符号 $[x]$ 在数列中的应用通常需要利用区间的单调性进行分段求和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-15 单-等差数列
• 2017-全国卷III理-09 单-等差数列
• 2017-全国卷II理-15 填-等差数列

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