2016-全国卷II理-10 单-几何概型

本题导读

本题考查几何概型、蒙特卡罗方法（随机模拟法求圆周率），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） 从区间 $[0,1]$ 随机抽取 $2n$ 个数 $x_1,x_2,\dots ,x_n,y_1,y_2,\dots ,y_n$，构成 $n$ 个数对 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_n,y_n)$.其中两数的平方和小于 $1$ 的数对共有 $m$ 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 $\pi$ 的近似值为 ()

A. $\frac{4n}{m}$　　　　　　B. $\frac{2n}{m}$　　　　　　C. $\frac{4m}{n}$　　　　　　D. $\frac{2m}{n}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定样本空间：数对 $(x,y)$ 中的 $x,y$ 均取自 $[0,1]$，因此所有的数对都落在一个边长为 $1$ 的正方形区域内，面积 $S_{\text{正}}=1\times 1=1$。

2. 确定目标区域：条件“两数平方和小于 $1$”即 $x^2+y^2<1$。在第一象限内，这代表半径为 $1$ 的圆在正方形内部的部分，即四分之一圆。其面积 $S_{\text{扇}}=\frac{1}{4}\pi r^2=\frac{1}{4}\pi \times 1^2=\frac{\pi }{4}$。

3. 建立概率关系：根据几何概型，点落在目标区域的概率 $P=\frac{S_{\text{扇}}}{S_{\text{正}}}=\frac{\pi /4}{1}=\frac{\pi }{4}$。

4. 随机模拟估算：实验中共有 $n$ 个点，其中 $m$ 个点落在目标区域内，则频率 $\frac{m}{n}$ 近似于概率 $P$。即 $\frac{m}{n}\approx \frac{\pi }{4}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 几何意义分析： 由题意知，点 $(x_i,y_i)$ 均匀分布在区域 $D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$ 内，该区域面积为 $1$。 满足 $x_i^2+y_i^2<1$ 的点位于区域 $A=\{(x,y)\mid x^2+y^2<1,0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$ 内。 该区域 $A$ 是一个半径为 $1$ 的四分之一圆，其面积为 $S_A=\frac{1}{4}\cdot \pi \cdot 1^2=\frac{\pi }{4}$。
2. 概率模型建立： 由几何概型可知，点落在区域 $A$ 内的概率 $P=\frac{S_A}{S_D}=\frac{\pi /4}{1}=\frac{\pi }{4}$。
3. 估算 $\pi$： 根据随机模拟原理，事件发生的频率近似于概率。 共有 $n$ 个数对（总点数），其中 $m$ 个满足条件（落在圆内的点数）。 则 $\frac{m}{n}\approx \frac{\pi }{4}$。 解得 $\pi \approx \frac{4m}{n}$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心模型：蒙特卡罗（Monte Carlo）方法求 $\pi$ 是数学文化与概率结合的常考点。
• 易错提醒：注意题目中给出的是 $2n$ 个数构成 $n$ 个数对，因此总试验次数是 $n$ 而不是 $2n$。
• 此类题目万变不离其宗，关键是找准“总面积”和“符合条件的面积”。如果是区间 $[-1,1]$，则总面积为 $4$，符合条件的面积为 $\pi$，此时 $\pi \approx \frac{4m}{n}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若要求估算 ${\int }_0^1{x}^{2}dx$ 的值，该如何设计随机模拟？
2. 知识关联：几何概型不仅可以处理长度、面积，还可以处理体积（如随机模拟求球体体积）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

C

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷I文-04 单-几何概型
• 2017-全国卷I理-02 单-几何概型
• 2014-湖南卷文-05 单-几何概型

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