2016-全国卷II理-11 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与简单几何性质、双曲线的定义，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） 已知 $F_1,F_2$ 是双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右焦点，点 $M$ 在 $E$ 上，$M{F}_1$ 与 $x$ 轴垂直，$\sin \angle M{F}_2{F}_1=\frac{1}{3}$，则 $E$ 的离心率为 ()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 明确 $M$ 点坐标与长度：由 $M{F}_1\perp x$ 轴可知，$M{F}_1$ 是双曲线的一条通径的一半（或利用坐标代入），其长度 $|M{F}_1|=\frac{b^2}{a}$。

2. 构建直角三角形：在 $Rt△M{F}_1{F}_2$ 中，一条直角边为 $|M{F}_1|=\frac{b^2}{a}$，另一条直角边为焦距 $|F_1{F}_2|=2c$。

3. 利用正弦定义：$\sin \angle M{F}_2{F}_1=\frac{|M{F}_1|}{|M{F}_2|}$。先利用勾股定理表示斜边 $|M{F}_2|$，或者直接利用双曲线定义 $|M{F}_2|-|M{F}_1|=2a$。

4. 建立 $e$ 的方程：将所有长度转化为含 $a,c$ 的表达式，利用 $e=\frac{c}{a}$ 求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 确定长度关系： 由 $M{F}_1\perp x$ 轴，可设 $M(-c,y_M)$。代入双曲线方程得 $\frac{c^2}{a^2}-\frac{y_M^2}{b^2}=1$， 解得 $|M{F}_1|=|y_M|=\frac{b^2}{a}$。 在 $Rt△M{F}_1{F}_2$ 中，$|F_1{F}_2|=2c$。
2. 利用双曲线定义： 由双曲线定义可知 $|M{F}_2|-|M{F}_1|=2a$， 则 $|M{F}_2|=|M{F}_1|+2a=\frac{b^2}{a}+2a=\frac{c^2-a^2}{a}+2a=\frac{c^2+a^2}{a}$。
3. 代入正弦值： $\sin \angle M{F}_2{F}_1=\frac{|M{F}_1|}{|M{F}_2|}=\frac{b^2/a}{(c^2+a^2)/a}=\frac{c^2-a^2}{c^2+a^2}=\frac{1}{3}$。
4. 求解离心率 $e$： 由 $\frac{c^2-a^2}{c^2+a^2}=\frac{1}{3}$ 得 $3c^2-3a^2=c^2+a^2$， 整理得 $2c^2=4a^2$，即 $\frac{c^2}{a^2}=2$。 故离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 重要性质：双曲线过焦点的垂线（通径）长度为 $\frac{2b^2}{a}$，这个结论在解析几何中极其常用。

• 定义法的优越性：本题中利用 $|M{F}_2|=|M{F}_1|+2a$ 避免了复杂的勾股定理根号运算，是提高解题速度的关键。

• 离心率转化：最终目标是求 $\frac{c}{a}$，因此在计算过程中应尽可能将 $b^2$ 转化为 $c^2-a^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：同法可推：设 $|M{F}_1|=\frac{b^2}{a}$（通径一半），由 $\sin \angle M{F}_2{F}_1=\frac{1}{2}$ 得 $3e^4-10e^2+3=0$，解得 $e=\sqrt{3}$——把几何条件翻译成关于 $e$ 的方程是通法。
2. 知识关联：过焦点垂直于实轴的弦（通径）长 $\frac{2b^2}{a}$ 与焦点三角形中的直角三角形是求离心率的两大支点；设而不求、整体代换，把条件化为关于 $e$ 的方程即可。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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