2016-全国卷II理-17 解-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和、对数运算及其性质。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_1=1$，$S_7=28$.记 $b_n=[\lg a_n]$，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.

(1)求 $b_1,b_{11},b_{101}$；

(2)求数列 $\{b_n\}$ 的前 1000 项和.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求 $a_n$ 的通项：利用等差数列基本公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 求出公差 $d$，进而得到 $a_n$。
2. 计算特定项：将 $n=1,11,101$ 代入 $a_n$，计算其常用对数并取整。
3. 分段求和：观察 $b_n=[\lg n]$ 的变化规律：

• 当 $1\le n<10$ 时，$\lg n\in [0,1)$，故 $b_n=0$；
• 当 $10\le n<100$ 时，$\lg n\in [1,2)$，故 $b_n=1$；
• 当 $100\le n<1000$ 时，$\lg n\in [2,3)$，故 $b_n=2$；
• 当 $n=1000$ 时，$\lg 1000=3$，故 $b_{1000}=3$。

4. 汇总：各段项数乘以对应的 $b_n$ 值再相加。

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✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 由 $S_7=7a_1+\frac{7\times 6}{2}d=28$，及 $a_1=1$， 得 $7+21d=28⟹21d=21⟹d=1$。 所以 $a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\times 1=n$。 由此可知 $b_n=[\lg n]$。

• $b_1=[\lg 1]=[0]=0$；
• $b_{11}=[\lg 11]$。因为 $1<\lg 11<2$，所以 $b_{11}=1$；
• $b_{101}=[\lg 101]$。因为 $2<\lg 101<3$，所以 $b_{101}=2$。

(2)记数列 $\{b_n\}$ 的前 1000 项和为 $T_{1000}$。 由(1)可知 $b_n=[\lg n]$，根据对数性质分段如下：

1. 当 $1\le n\le 9$ 时，$b_n=0$，共 9 项，和为 $9\times 0=0$；
2. 当 $10\le n\le 99$ 时，$b_n=1$，共 $99-10+1=90$ 项，和为 $90\times 1=90$；
3. 当 $100\le n\le 999$ 时，$b_n=2$，共 $999-100+1=900$ 项，和为 $900\times 2=1800$；
4. 当 $n=1000$ 时，$b_{1000}=[\lg 1000]=3$，共 1 项，和为 $1\times 3=3$。 所以，$T_{1000}=0+90+1800+3=1893$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 函数与数列结合：数列本质上是定义在正整数集上的函数，本题通过取整函数考察了数列项的周期性/分段性。
• 项数陷阱：在计算分段项数时，务必使用“末项 - 首项 + 1”，避免出现计算为 89 或 899 的错误。
• 解答题第一题通常比较友好，但需注意书写规范，尤其是分段求和的逻辑表达。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若将 $b_n=[\lg a_n]$ 改为 $b_n=2^{a_n}$，求和则需使用等比数列求和公式。
2. 知识关联：取整函数在数论和组合数学中非常常见，如求 $n!$ 中质因子 $p$ 的指数（勒让德公式）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-15 单-等差数列
• 2017-全国卷III理-09 单-等差数列
• 2017-全国卷II文-08 单-对数函数

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