2016-全国卷III文-03 单-向量

本题导读

本题考查平面向量的数量积、向量的夹角公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(文)） 已知向量 $\overrightarrow{BA}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\overrightarrow{BC}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$，则 $\angle ABC=$ ()

A. $30^{\circ }$　　　　　　B. $45^{\circ }$　　　　　　C. $60^{\circ }$　　　　　　D. $120^{\circ }$

🔍【思路分析】

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1. 利用向量夹角余弦公式 $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}$ 求解。
2. 计算两向量的数量积及各自的模长。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

向量的坐标分别为 $\overrightarrow{BA}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\overrightarrow{BC}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$。 数量积为： $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 模长分别为： $|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$， $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=1$。 设 $\angle ABC=\theta$，则 $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1\times 1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 因为 $\theta \in [0^{\circ },180^{\circ }]$，所以 $\theta =30^{\circ }$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积与夹角公式。
2. 核心方法：坐标公式计算法。
3. 避坑指南：注意 $\angle ABC$ 是向量 $\overrightarrow{BA}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角，两向量的起点均为 $B$，符合夹角定义。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：平面向量常规考查题。
2. 结论推广：单位向量的数量积直接等于其夹角的余弦值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III理-12 单-向量
• 2017-全国卷II文-04 单-向量垂直

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