2016-全国卷III文-06 单-三角函数

本题导读

本题考查二倍角的余弦公式、同角三角函数关系（弦切互化），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(文)） 若 $\tan \theta =-\frac{1}{3}$，则 $\cos 2\theta =$ ()

A. $-\frac{4}{5}$　　　　　　B. $-\frac{1}{5}$　　　　　　C. $\frac{1}{5}$　　　　　　D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用二倍角余弦公式将 $\cos 2\theta$ 用正切表示：$\cos 2\theta =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$。
2. 将 $\tan \theta =-\frac{1}{3}$ 直接代入公式计算。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

根据二倍角的余弦公式（弦切互化形式）： $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =\frac{{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }=\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$。 将 $\tan \theta =-\frac{1}{3}$ 代入上式得： $\cos 2\theta =\frac{1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2}{1+{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{1-\frac{1}{9}}{1+\frac{1}{9}}=\frac{\frac{8}{9}}{\frac{10}{9}}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角余弦公式、弦切互化。
2. 核心方法：齐次公式代入法。
3. 避坑指南：熟记 $\cos 2\theta =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$ 可以避免先求正余弦值的繁琐步骤。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考三角恒等变换常规选择题。
2. 结论推广：$\sin 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }$ 和 $\cos 2\theta =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$ 是解决弦切转化的高效公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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