2016-全国卷III文-10 单-三视图

本题导读

本题考查三视图还原几何体、棱柱的表面积计算，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(文)） 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ()

A. $18+36\sqrt{5}$　　　　　B. $54+18\sqrt{5}$　　　　　C. $90$　　　　　D. $81$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何体识别：

• 俯视图和侧视图均为矩形，主视图为一个平行四边形。
• 这说明该几何体是一个直四棱柱，其底面即为主视图所在的平行四边形，高（侧棱长）由俯视图或侧视图的宽度决定。

2. 尺寸提取：

• 底面（平行四边形）：底边长为 3，高为 6。
• 柱体的高：根据俯视图，高为 3。

3. 计算表面积：表面积 = 2 × 底面积 + 侧面积。

• 侧面积 = 底面周长 × 柱体的高。
• 底面周长需利用勾股定理计算平行四边形的斜边长。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 还原几何体： 该几何体是一个直四棱柱，底面是主视图中的平行四边形，柱体高 $h=3$。
2. 计算底面积 ($S_{base}$)： 底面平行四边形的底为 3，高为 6。 $S_{base}=3\times 6=18$。
3. 计算底面周长 ($C_{base}$)： 平行四边形的一组对边长为 3。 另一组对边（斜边）通过网格计算：水平位移为 3，垂直位移为 6。 斜边长 $=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。 底面周长 $C_{base}=2\times (3+3\sqrt{5})=6+6\sqrt{5}$。
4. 计算侧面积 ($S_{side}$)： $S_{side}=C_{base}\times h=(6+6\sqrt{5})\times 3=18+18\sqrt{5}$。
5. 计算全表面积 ($S_{total}$)： $S_{total}=2S_{base}+S_{side}=2\times 18+(18+18\sqrt{5})=36+18+18\sqrt{5}=54+18\sqrt{5}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 视图转换：在处理三视图时，习惯上把面积最复杂的视图看作“底面”，将柱体“放倒”来思考会更简单。本题中主视图是平行四边形，最适合作为底面。
• 易错点：
• 混淆表面积与体积。
• 忘记计算平行四边形底面的“两个”面积。
• 计算斜边长时数错网格数。
• 直棱柱的表面积公式 $S=2S_{base}+Ch$ 非常实用，能有效避免逐个面相加导致的遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式训练：若要求该几何体的体积，则 $V=S_{base}\times h=18\times 3=54$。
• 知识关联：本题体现了空间想象力与平面几何计算的结合。类似题目中，底面也可能是梯形或三角形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

B

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II文-06 单-三视图
• 2017-全国卷II理-04 单-三视图
• 2017-全国卷I理-07 单-三视图

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