2017-全国卷I理-07 单-三视图

本题导读

本题考查三视图，以及空间几何体的直观图还原。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 ()

A. 10　　　　　　　B. 12　　　　　　　C. 14　　　　　　　D. 16

🔍【思路分析】

破题导航

1. 还原直观图：

• 俯视图为等腰直角三角形，说明底面是一个直角边为 2 的等腰直角三角形。
• 正、左视图下部为正方形，上部为等腰直角三角形，说明该几何体是一个直三棱柱（底面为等腰直角三角形，高为 2）与一个三棱锥的组合体。
• 综合观察，该多面体可以看作是在一个直三棱柱上方叠加了一个同底的三棱锥。

2. 识别梯形面：

• 底面和顶面点对应的侧面中，原本三棱柱的侧面是矩形。
• 但在组合后，由于上部是锥体，侧面的边界发生了变化。观察直观图，该几何体左右两个侧面由矩形和三角形合并构成了梯形。

3. 计算面积：

• 确定梯形的上底、下底和高。
• 计算所有符合条件的梯形面积之和。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B 【解析过程】 第一步：还原几何体 根据三视图，该几何体是一个组合体：

• 下部是一个底面为等腰直角三角形（直角边长为 2）、高为 2 的直三棱柱；

• 上部是一个底面相同、高为 2 的三棱锥，且该锥体的一个侧棱垂直于底面（位于直角顶点处）。

第二步：寻找梯形 观察还原后的多面体：

• 后侧面（对应直角三角形的两条直角边所在的平面）：由一个 $2\times 2$ 的正方形和一个直角三角形组成，合并后为直角梯形。
• 共有两个这样的侧面是梯形（分别位于左侧和后侧，因为正视图和左视图对称）。
• 梯形的参数：
  • 下底为三棱柱的高与三棱锥边长之和：$2+2=4$；
  • 上底为三棱柱底边的对应部分（或从另一视角看）：$2$；
  • 梯形的高为底面直角三角形的直角边：$2$。

第三步：计算面积之和 单个梯形的面积 $S=\frac{(2+4)\times 2}{2}=6$。 由于正视图和左视图相同，多面体具有对称性，共有 2 个这样的梯形。 梯形面积之和为 $6\times 2=12$。 故选 B


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 三视图还原技巧：先看俯视图定底面形状，再看正、左视图定高度和侧面倾斜情况。
• 梯形的判定：在立体几何组合体中，原本平行的侧棱如果被切割或叠加，矩形面常会转化为梯形面。
• 易错点：不要漏掉对称的另一个侧面，也不要误将三角形或矩形计入梯形面积。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 表面积与体积计算： 若题目要求该几何体的体积： $V=V_{\text{柱}}+V_{\text{锥}}=(\frac{1}{2}\times 2\times 2)\times 2+\frac{1}{3}\times (\frac{1}{2}\times 2\times 2)\times 2=4+\frac{4}{3}=\frac{16}{3}$。

2. 常见三视图对应模型：

• 正方形 + 三角形 $\to$ 棱柱与棱锥组合。
• 圆 + 三角形 $\to$ 圆柱与圆锥组合。
• 矩形中带虚线 $\to$ 内部有挖空的结构。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-09 单-三视图
• 2014-新课标I卷文-08 单-三视图
• 2014-湖北卷文-07 单-三视图