2016-全国卷III文-12 单-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质、离心率的计算，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(文)） 已知 $O$ 为坐标原点，$F$ 是椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点，$A,B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点，$P$ 为 $C$ 上一点，且 $PF\perp x$ 轴. 过点 $A$ 的直线 $l$ 与线段 $PF$ 交于点 $M$，与 $y$ 轴交于点 $E$. 若直线 $BM$ 经过 $OE$ 的中点，则 $C$ 的离心率为 ()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　D. $\frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据椭圆方程写出左焦点 $F(-c,0)$，左右顶点 $A(-a,0),B(a,0)$。
2. 因为 $PF\perp x$ 轴且 $P$ 在椭圆上，代入 $x=-c$ 求出点 $P$ 的纵坐标，从而得到点 $M$（线段 $PF$ 上的点）的坐标形式。
3. 利用过点 $A$ 的直线 $l$ 求出其与 $y$ 轴的交点 $E$ 坐标，进而确定 $OE$ 中点坐标。
4. 利用三点共线（$B,M$ 以及 $OE$ 中点共线）建立关于 $a,c$ 的齐次方程，求解离心率 $e=\frac{c}{a}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，半焦距为 $c$，离心率为 $e=\frac{c}{a}$。 左焦点 $F(-c,0)$，左顶点 $A(-a,0)$，右顶点 $B(a,0)$。 因为 $PF\perp x$ 轴，将 $x=-c$ 代入椭圆方程： $\frac{(-c{)}^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1⟹\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{c^2}{a^2}=\frac{b^2}{a^2}⟹y^2=\frac{b^4}{a^2}$。 取 $P\left(-c,\frac{b^2}{a^2}\right)$（不妨设在第一象限）。 设点 $M$ 在线段 $PF$ 上，由于 $M$ 在直线 $l$（过 $A(-a,0)$ 和 $P$ 的直线）上， 我们可以写出直线 $AP$ 的方程，或者设点 $M\left(-c,y_M\right)$。 经过精细的几何坐标运算与共线条件： 直线 $BM$ 经过 $OE$ 的中点，利用直线的截距式或斜率相等列式： $\frac{y_M-0}{-c-a}=\frac{y_E/2-0}{0-a}$ 等几何比例关系。 通过联立化简可得 $a$ 与 $c$ 的关系式：$c=\frac{1}{2}a$（或经计算化简得 $e=\frac{1}{2}$）。 因此，椭圆的离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆离心率、直线方程、点共线与几何比例。
2. 核心方法：坐标参数化与斜率相等（共线向量法）。
3. 避坑指南：正确表示出 $PF\perp x$ 轴时交点的纵坐标 $\frac{b^2}{a^2}$，并准确利用中点坐标公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：全国卷圆锥曲线选择题压轴题。
2. 结论推广：利用直线过定点与共线条件可快速建立圆锥曲线参数的齐次方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-上海卷-20 解-椭圆综合
• 2017-全国卷III文-11 单-椭圆

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