2016-全国卷III文-14 填-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的辅助角公式、函数图象的平移变换，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(文)） 函数 $y=\sin x-\sqrt{3}\cos x$ 的图象可由函数 $y=2\sin x$ 的图象至少向右平移$\underline{}$个单位长度得到.

🔍【思路分析】

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1. 利用辅助角公式将 $y=\sin x-\sqrt{3}\cos x$ 化为正弦型函数 $y=2\sin (x-\phi )$ 的形式。
2. 对比原函数 $y=2\sin x$ 与化简后的函数解析式，确定图象平移的距离。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

将函数 $y=\sin x-\sqrt{3}\cos x$ 利用辅助角公式化简： $y=2\left(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=2\left(\sin x\cos \frac{\pi }{3}-\cos x\sin \frac{\pi }{3}\right)=2\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$。 目标是将函数 $y=2\sin x$ 的图象平移得到 $y=2\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$。 根据函数图象的平移法则“左加右减”，将 $x$ 替换为 $x-\frac{\pi }{3}$ 相当于向右平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度。 因此，至少向右平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度。 故答案为 $\frac{\pi }{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式、三角函数图象平移。
2. 核心方法：公式化简与相位对比法。
3. 避坑指南：注意平移的方向是“向右”平移 $\frac{\pi }{3}$，切勿把符号弄错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：三角函数图象变换经典题。
2. 结论推广：形如 $a\sin x+b\cos x$ 可化为 $\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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