2016-全国卷III理-03 单-向量

本题导读

本题考查平面向量的数量积、向量夹角公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(理)） 已知向量 $\overrightarrow{BA}=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，$\overrightarrow{BC}=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$，则 $\angle ABC=$ ()

A. $30^{\circ }$　　　　　　B. $45^{\circ }$　　　　　　C. $60^{\circ }$　　　　　　D. $120^{\circ }$

🔍【思路分析】

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1. 明确向量夹角：$\angle ABC$ 即为向量 $\overrightarrow{BA}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角。
2. 计算数量积：根据坐标运算公式 $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 计算 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$。
3. 计算向量的模：利用公式 $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$ 计算两个向量的长度。
4. 利用余弦公式：代入 $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ 求出 $\cos \angle ABC$ 的值，最后根据特殊角三角函数值确定角度。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 计算数量积： $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
2. 计算模长： $|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{(\frac{1}{2}{)}^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$； $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2+(\frac{1}{2}{)}^2}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=1$。
3. 求余弦值： $\cos \angle ABC=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1\times 1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
4. 确定角度： 因为 $0^{\circ }\le \angle ABC\le 180^{\circ }$，且 $\cos \angle ABC=\frac{\sqrt{3}}{2}$， 所以 $\angle ABC=30^{\circ }$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 易错点提醒：求角时一定要明确是哪两个向量的夹角。本题中 $\angle ABC$ 是以 $B$ 为起点的向量 $\overrightarrow{BA}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角，如果向量起点不统一（如 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$），计算出的结果会相差一个负号，导致求出补角。
• 技巧总结：观察坐标发现两个向量的模均为 1（单位向量），此时数量积的值直接等于夹角的余弦值。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目给定的是 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{BC}$ 的坐标，求 $\angle ABC$。此时应先转化为同起点的向量 $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$，再进行计算。
• 知识关联：向量夹角公式是解决立体几何中异面直线所成角、二面角等问题的核心工具。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III理-12 单-向量
• 2017-全国卷II文-04 单-向量垂直

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