2016-全国卷III理-08 单-解三角形

本题导读

本题考查解三角形、两角和的余弦公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(理)） 在 $△ABC$ 中，$B=\frac{\pi }{4}$，$BC$ 边上的高等于 $\frac{1}{3}BC$，则 $\cos A$ 等于 ()

A. $\frac{3\sqrt{10}}{10}$　　　　　B. $\frac{\sqrt{10}}{10}$　　　　　C. $-\frac{\sqrt{10}}{10}$　　　　　D. $-\frac{3\sqrt{10}}{10}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 作图辅助：作 $AD\perp BC$ 于 $D$，设 $BC=a$，根据题意得出高 $AD=\frac{1}{3}a$。
2. 拆分角度：观察图形，$A=\angle BAD+\angle CAD$。其中 $\angle BAD$ 在 $Rt△ABD$ 中可以直接得出。
3. 求边长关系：

• 在 $Rt△ABD$ 中，$B=45^{\circ }$，所以 $BD=AD=\frac{1}{3}a$。
• 进而推导出 $CD=BC-BD=\frac{2}{3}a$。

4. 求三角函数值：设 $\angle CAD=\theta$，在 $Rt△ACD$ 中求出 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$。
5. 公式代入：利用 $\cos A=\cos (\frac{\pi }{4}+\theta )$ 进行计算。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 构建直角三角形： 如图，作 $AD\perp BC$ 于 $D$。设 $BC=a$，则由题意知 $AD=\frac{1}{3}a$。

3. 分析 $Rt△ABD$： 因为 $\angle B=\frac{\pi }{4}$，所以 $△ABD$ 是等腰直角三角形。 得 $BD=AD=\frac{1}{3}a$，$\angle BAD=\frac{\pi }{4}$。
4. 分析 $Rt△ACD$： $CD=BC-BD=a-\frac{1}{3}a=\frac{2}{3}a$。 设 $\angle CAD=\theta$，则： $AC=\sqrt{A{D}^2+C{D}^2}=\sqrt{(\frac{1}{3}a{)}^2+(\frac{2}{3}a{)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{3}a$。 所以 $\cos \theta =\frac{AD}{AC}=\frac{\frac{1}{3}a}{\frac{\sqrt{5}}{3}a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sin \theta =\frac{CD}{AC}=\frac{\frac{2}{3}a}{\frac{\sqrt{5}}{3}a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
5. 求 $\cos A$： 由图可知 $A=\frac{\pi }{4}+\theta$。 $\cos A=\cos (\frac{\pi }{4}+\theta )=\cos \frac{\pi }{4}\cos \theta -\sin \frac{\pi }{4}\sin \theta$ $\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{2\sqrt{5}}{5}$ $\cos A=\frac{\sqrt{10}}{10}-\frac{2\sqrt{10}}{10}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 几何建模：处理不规则三角形时，通过“作高”构建直角三角形是最基础且有效的手段。
• 符号判断：本题中 $\cos A<0$，说明 $\angle A$ 是钝角。在解三角形题目中，务必注意角度的范围及三角函数值的正负。
• 技巧点拨：设边长为具体的比例（如令 $BC=3$，则 $AD=1$）可以简化计算过程，避免字母符号的干扰。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目要求 $\sin A$ 或 $\tan A$，方法类似，只需改用对应的和角公式或利用同角三角函数关系。
• 知识关联：本题也可以通过坐标法解决。以 $D$ 为原点，$BC$ 所在直线为 $x$ 轴，可求出 $A,B,C$ 的坐标，进而利用向量夹角公式求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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