2016-全国卷III理-10 单-立体几何

本题导读

本题考查直三棱柱的几何特征、三角形的内切圆，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(理)） 在封闭的直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 内有一个体积为 $V$ 的球.若 $AB\perp BC$，$AB=6$，$BC=8$，$A{A}_1=3$，则 $V$ 的最大值是 ()

A. $4\pi$　　　　　　　B. $\frac{9\pi }{2}$　　　　　　　C. $6\pi$　　　　　　　D. $\frac{32\pi }{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 球的体积与半径关系：球的体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$，要使 $V$ 最大，只需球的半径 $R$ 最大。
2. 确定约束条件：球在封闭的直三棱柱内，半径 $R$ 受限于两个因素：

• 底面的限制：球在水平方向上不能超出底面 $△ABC$ 的边界，因此 $2R\le r_{in}$（底面内切圆直径）。
• 高度的限制：球在垂直方向上不能超出棱柱的高，因此 $2R\le h$（棱柱的高 $A{A}_1$）。

3. 计算具体数值：

• 计算直角三角形 $ABC$ 的内切圆半径 $r$。
• 结合棱柱高 $h=3$，取两者的最小值作为球的直径 $2R$。

4. 代入公式：求出 $V$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 求底面三角形内切圆半径 $r$： 在 $Rt△ABC$ 中，$AB=6$，$BC=8$，$AB\perp BC$。 由勾股定理得斜边 $AC=\sqrt{6^2+8^2}=10$。 直角三角形内切圆半径 $r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{6+8-10}{2}=2$。
2. 求最大球半径 $R$： 球若要放入棱柱内：

• 受底面宽度限制：直径 $2R\le 2r=4$，即 $R\le 2$。
• 受侧棱高度限制：直径 $2R\le A{A}_1=3$，即 $R\le \frac{3}{2}$。 取交集得 $R\le \frac{3}{2}$。 所以球半径的最大值 $R_{max}=\frac{3}{2}$。

3. 计算最大体积 $V$： $V=\frac{4}{3}\pi \cdot (\frac{3}{2}{)}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{27}{8}=\frac{9\pi }{2}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 内切球半径公式：直棱柱内切球的半径 $R=\min \{r_{\text{底面内切圆}},\frac{h}{2}\}$。这是一个非常实用的结论。
• 易错提醒：很多考生容易只计算底面内切圆半径 $r=2$，得出 $V=\frac{4}{3}\pi \cdot 2^3=\frac{32\pi }{3}$（即 D 选项），而忽视了棱柱的高度 $3$ 根本容不下直径为 $4$ 的球。
• 几何直观：球在棱柱内同时受两个方向的约束——横向不能超出底面内切圆（$R\le r$），竖向不能超过棱柱高的一半（$R\le \frac{h}{2}$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若将 $A{A}_1$ 改为 $5$，则球的半径由谁决定？ 答：此时 $R$ 受底面限制，$R\le 2$，受高度限制 $R\le 2.5$，故 $R_{max}=2$，体积为 $\frac{32\pi }{3}$。
• 知识关联：直角三角形内切圆半径公式 $r=\frac{a+b-c}{2}$ 仅适用于直角三角形，普通三角形需用 $r=\frac{2S}{a+b+c}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-04 填-球的体积
• 2017-上海卷-17 解-立体几何综合
• 2017-上海卷-18 解-三角综合

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