2016-北京卷文-09 填-向量

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算、向量的夹角公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(文)） 已知向量 $\mathbf{a}=(1,\sqrt{3}),\mathbf{b}=(\sqrt{3},1)$，则 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 夹角的大小为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用向量的数量积公式 $\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$ 求解。
2. 代入向量的坐标进行计算。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

向量的坐标分别为 $\mathbf{a}=(1,\sqrt{3}),\mathbf{b}=(\sqrt{3},1)$。 数量积为：$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=1\times \sqrt{3}+\sqrt{3}\times 1=2\sqrt{3}$。 模长分别为：$|\mathbf{a}|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$，$|\mathbf{b}|=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=2$。 设向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}=\frac{2\sqrt{3}}{2\times 2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 因为 $\theta \in [0,\pi ]$，所以 $\theta =\frac{\pi }{6}$。 故答案为：$\frac{\pi }{6}$（或 $30^{\circ }$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积与夹角公式。
2. 核心方法：坐标公式直接计算。
3. 避坑指南：注意夹角的取值范围为 $[0,\pi ]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：历年高考向量运算常规题型。
2. 结论推广：两向量夹角公式是解析几何与向量交汇的基础。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III理-12 单-向量
• 2017-全国卷II文-04 单-向量垂直

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