2016-北京卷文-15 解-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 是等差数列，$\{b_n\}$ 是等比数列，且 $b_2=3,b_3=9,a_1=b_1,a_{14}=b_4$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 设 $c_n=a_n+b_n$，求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：先由等比数列的性质求出公比 $q$ 和首项 $b_1$，进而得到 $a_1$ 和 $b_4$，再利用等差数列的通项公式求出公差 $d$，从而写出 $a_n$。
2. 第 (2) 问：利用数列 $c_n=a_n+b_n$ 的结构特点，采用分组求和法，分别对等差数列 $\{a_n\}$ 和等比数列 $\{b_n\}$ 求和。

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数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和为：$S_n=n^2+\frac{3^n-1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$。 因为 $b_2=3,b_3=9$， 所以公比 $q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{9}{3}=3$。 由 $b_2=b_{1}q⟹3=b_1\times 3⟹b_1=1$。 从而 $b_4=b_1{q}^3=1\times 3^3=27$。 因为 $a_1=b_1$ 且 $a_{14}=b_4$， 所以 $a_1=1,a_{14}=27$。 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$， 则 $a_{14}=a_1+13d⟹27=1+13d⟹13d=26⟹d=2$。 因此，等差数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1$。

(2) 由题意知，等比数列 $\{b_n\}$ 的通项公式为 $b_n=b_1{q}^{n-1}=3^{n-1}$。 因为 $c_n=a_n+b_n=2n-1+3^{n-1}$， 设数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$， 则 $S_n=(a_1+a_2+\cdots +a_n)+(b_1+b_2+\cdots +b_n)$。 等差数列前 $n$ 项和为： ${\sum }_{i=1}^n{a}_i=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n[1+(2n-1)]}{2}=n^2$。 等比数列前 $n$ 项和为： ${\sum }_{i=1}^n{b}_i=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{1(1-3^n)}{1-3}=\frac{3^n-1}{2}$。 综上所述，数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和为： $S_n=n^2+\frac{3^n-1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差、等比数列通项与求和公式。
2. 核心方法：基本量法（方程组思想）与分组求和法。
3. 避坑指南：在计算等比数列前 $n$ 项和时，注意公比不为 1，且要准确代入求和公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考解答题中数列板块的第一道常规考题。
2. 结论推广：形如 $c_n=a_n\pm b_n$ 或 $c_n=a_n{b}_n$ 的数列求和，分别对应分组求和法和错位相减法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-15 单-等差数列
• 2017-全国卷III理-09 单-等差数列
• 2017-全国卷III理-14 填-等比数列

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