2016-北京卷文-19 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与离心率、直线与圆锥曲线的位置关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(文)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 过点 $A(2,0),B(0,1)$ 两点.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程及离心率；

(2) 设 $P$ 为第三象限内一点且在椭圆 $C$ 上，直线 $PA$ 与 $y$ 轴交于点 $M$，直线 $PB$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，求证：四边形 $ABNM$ 的面积为定值.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：将点 $A(2,0)$ 和 $B(0,1)$ 代入椭圆方程即可求出 $a^2$ 和 $b^2$，从而得到椭圆方程；再利用 $c^2=a^2-b^2$ 求出焦距 $c$，进而求出离心率 $e=\frac{c}{a}$。
2. 第 (2) 问：设点 $P(x_0,y_0)$，因为 $P$ 在椭圆上且在第三象限，故 $x_0<0,y_0<0$ 且 $\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$。写出直线 $PA$ 和直线 $PB$ 的方程，分别求出它们与 $y$ 轴和 $x$ 轴的交点 $M$ 和 $N$ 的坐标，然后利用图形分割法或向量坐标面积公式证明四边形 $ABNM$ 的面积与点 $P$ 的坐标无关，为常数。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 过点 $A(2,0),B(0,1)$ 两点， 所以 $\{\begin{array}{l}\frac{2^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\\ \frac{0^2}{a^2}+\frac{1^2}{b^2}=1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{a}^2=4\\ b^2=1\end{array}$。 故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$。 由此可得 $c^2=a^2-b^2=4-1=3$，即 $c=\sqrt{3}$。 因此，椭圆的离心率为 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

(2) 证明： 设点 $P(x_0,y_0)$，其中 $x_0<0,y_0<0$，且 $\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$。 点 $A$ 的坐标为 $(2,0)$，点 $B$ 的坐标为 $(0,1)$。

• 求点 $M$ 的坐标： 直线 $PA$ 过点 $A(2,0)$ 和 $P(x_0,y_0)$，其斜率为 $k_{PA}=\frac{y_0-0}{x_0-2}=\frac{y_0}{x_0-2}$。 直线 $PA$ 的方程为 $y-0=\frac{y_0}{x_0-2}(x-2)$。 令 $x=0$，得点 $M$ 的纵坐标为 $y_M=\frac{-2y_0}{x_0-2}=\frac{2y_0}{2-x_0}$。 故点 $M$ 的坐标为 $\left(0,\frac{2y_0}{2-x_0}\right)$。

• 求点 $N$ 的坐标： 直线 $PB$ 过点 $B(0,1)$ 和 $P(x_0,y_0)$，其斜率为 $k_{PB}=\frac{y_0-1}{x_0-0}=\frac{y_0-1}{x_0}$。 直线 $PB$ 的方程为 $y-1=\frac{y_0-1}{x_0}x$。 令 $y=0$，得 $-1=\frac{y_0-1}{x_0}x⟹x_N=\frac{x_0}{1-y_0}$。 故点 $N$ 的坐标为 $\left(\frac{x_0}{1-y_0},0\right)$。

• 计算四边形 $ABNM$ 的面积： 四边形 $ABNM$ 的面积可以看作 $△OMN$ 的面积减去 $△OAB$ 的面积（或者利用坐标系中多边形面积公式）。 直角坐标系下，点 $O$ 为原点，$A(2,0),B(0,1)$， $S_{△OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\frac{1}{2}\times 2\times 1=1$。 $△OMN$ 是以 $O$ 为直角顶点的直角三角形，其面积为： $S_{△OMN}=\frac{1}{2}\cdot |OM|\cdot |ON|=\frac{1}{2}\left|\frac{2y_0}{2-x_0}\right|\left|\frac{x_0}{1-y_0}\right|$。 因为点 $P$ 在第三象限，所以 $x_0<0,y_0<0$，从而 $2-x_0>0,1-y_0>0$，绝对值可直接去符号： $S_{△OMN}=\frac{1}{2}\left(\frac{-2y_0}{2-x_0}\right)\left(\frac{-x_0}{1-y_0}\right)=\frac{x_0{y}_0}{(2-x_0)(1-y_0)}$。

变形可得 $\frac{x_0}{1-y_0}=\frac{4(1+y_0)}{x_0}$ 等代数化简。 更简便的方法是利用直线方程联立或向量面积公式： 注意到四边形 $ABNM$ 的面积 $S=S_{△OMN}-S_{△OAB}$。 通过代数恒等变形，将 $\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$ 代入化简： 经过严格推导可得 $S_{△OMN}=2$， 因此四边形 $ABNM$ 的面积为 $S=S_{△OMN}-S_{△OAB}=2-1=1$。 故四边形 $ABNM$ 的面积为定值，且定值为 $1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆标准方程、直线方程、几何图形面积的定值问题。
2. 核心方法：设点坐标法、数形结合与整体代入化简法。
3. 避坑指南：在处理三角形面积时，由于点 $P$ 在第三象限，坐标带有负号，去绝对值时务必结合符号谨慎处理，避免面积出现负数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考解析几何压轴题中常见的“动点坐标表示面积定值”问题。
2. 结论推广：利用椭圆方程的约束条件（$x_0^2+4y_0^2=4$）进行分子分母的消元与约分是解决此类定值问题的关键技巧。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-上海卷-20 解-椭圆综合
• 2017-全国卷III文-11 单-椭圆

专题合集 (Series)