2016-北京卷理-04 单-向量

本题导读

本题考查向量模的性质、平行四边形法则，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(理)） 设 $\vec{a},\vec{b}$ 是向量，则“$|\vec{a}|=|\vec{b}|$”是“$|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 分析条件 $p$：$|\vec{a}|=|\vec{b}|$。在以 $\vec{a},\vec{b}$ 为邻边的平行四边形中，这表示两条邻边相等，该四边形是菱形。
2. 分析条件 $q$：$|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$。这表示平行四边形的两条对角线长度相等。根据几何常识，对角线相等的平行四边形是矩形，即 $\vec{a}\perp \vec{b}$。
3. 逻辑判定：

• 邻边相等（菱形）能否推出对角线相等（矩形）？不一定。
• 对角线相等（矩形）能否推出邻边相等（菱形）？不一定。

4. 代数验证（可选）：利用 $|\vec{v}{|}^2={\vec{v}}^2$ 展开 $q$，得 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$。$|\vec{a}|=|\vec{b}|$ 与 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ 之间没有必然的前因后果关系。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 充分性判定： 若 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$，说明向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的长度相等。 例如，取 $\vec{a}=(1,0)$，$\vec{b}=(1,1)$。此时 $|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=\sqrt{2}$，不满足条件。 重新取值：设 $\vec{a}=(1,0)$，$\vec{b}=(0.6,0.8)$，此时 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$。 计算 $|\vec{a}+\vec{b}|=|(1.6,0.8)|=\sqrt{3.2}$， 计算 $|\vec{a}-\vec{b}|=|(0.4,-0.8)|=\sqrt{0.8}$。 $|\vec{a}+\vec{b}|\ne |\vec{a}-\vec{b}|$，故充分性不成立。

2. 必要性判定： 若 $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$， 平方得：${\vec{a}}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2={\vec{a}}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2$， 化简得：$4\vec{a}\cdot \vec{b}=0⟹\vec{a}\perp \vec{b}$。 当两向量垂直时，它们的模长不一定相等（如 $\vec{a}=(1,0),\vec{b}=(0,2)$）。 故必要性不成立。

3. 结论： “$|\vec{a}|=|\vec{b}|$”是“$|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$”的既不充分也不必要条件。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 几何模型记忆：
• $|\vec{a}|=|\vec{b}|⟺$ 菱形 $⟺$ 对角线互相垂直。
• $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|⟺$ 矩形 $⟺$ 邻边互相垂直。
• $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|⟺\vec{a},\vec{b}$ 同向共线。
• 处理向量模的等式，**“平方”**是化代数为几何、化几何为数量积的最强法宝。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若题目改为“$|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$ 是 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ 的什么条件？”（答案：充要条件）。
2. 知识关联：本题考查了逻辑用语与平面向量的交叉应用，是北京卷中常见的考查方式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III理-12 单-向量
• 2017-全国卷II文-04 单-向量垂直

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