2016-北京卷理-05 单-对数

本题导读

本题考查不等式的基本性质、指数函数的单调性，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(理)） 已知 $x,y\in \mathbb{R}$，且 $x>y>0$，则 ()

A. $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}>0$　　　　　　　　　　　　　　　　　B. $\sin x-\sin y>0$

C. $(\frac{1}{2}{)}^x-(\frac{1}{2}{)}^y<0$　　　　　　　　　　　　　　D. $\ln x+\ln y>0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 A 项（反比例函数）：函数 $f(t)=\frac{1}{t}$ 在 $(0,+\infty )$ 上是减函数。
2. 分析 B 项（正弦函数）：$\sin t$ 在 $(0,+\infty )$ 上不是单调函数，具有周期性波动。
3. 分析 C 项（指数函数）：函数 $f(t)=(\frac{1}{2}{)}^t$ 的底数 $0<\frac{1}{2}<1$，因此在 $\mathbb{R}$ 上是减函数。
4. 分析 D 项（对数函数）：虽然 $\ln t$ 是增函数，但 $\ln x+\ln y=\ln (xy)$ 的符号取决于 $xy$ 与 $1$ 的大小关系。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解： 已知 $x>y>0$。

• 对于 A 项： 因为 $f(t)=\frac{1}{t}$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，所以 $\frac{1}{x}<\frac{1}{y}$。 则 $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}<0$，故 A 错误。

• 对于 B 项： 取 $x=\pi ,y=\frac{\pi }{2}$。满足 $x>y>0$。 此时 $\sin \pi =0,\sin \frac{\pi }{2}=1$，则 $\sin x-\sin y=-1<0$，故 B 错误。

• 对于 C 项： 令 $f(t)=(\frac{1}{2}{)}^t$。由于底数 $\frac{1}{2}\in (0,1)$，该函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递减。 因为 $x>y$，所以 $f(x)<f(y)$，即 $(\frac{1}{2}{)}^x<(\frac{1}{2}{)}^y$。 移项得 $(\frac{1}{2}{)}^x-(\frac{1}{2}{)}^y<0$，故 C 正确。

• 对于 D 项： 取 $x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{4}$。满足 $x>y>0$。 此时 $\ln x+\ln y=\ln \frac{1}{8}<0$，故 D 错误。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 单调性的应用：这是解决不等式比较最稳健的方法。减函数会“反转”自变量的大小关系，增函数则“保持”关系。
• 特值法的灵活性：在选择题中，排除错误选项最快的方式就是举反例（特值法），尤其适用于 B、D 这种不确定性较高的选项。
• 指数函数 $a^x$ 当 $0<a<1$ 时单调递减，这是高一函数的重点，也是高考常考的“陷阱”点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若题目条件改为 $x>y>1$，则 D 项是否成立？（此时 $xy>1$，则 $\ln (xy)>0$，成立）。
2. 知识关联：本题考查了考生对基础函数图象特征的掌握情况。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II文-08 单-对数函数

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