2016-北京卷理-07 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的图象变换（平移变换）、三角函数求值，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(理)） 将函数 $y=\sin (2x-\frac{\pi }{3})$ 图象上的点 $P(\frac{\pi }{4},t)$ 向左平移 $s$ ($s>0$) 个单位长度得到点 $P^{\prime }$.若 $P^{\prime }$ 位于函数 $y=\sin 2x$ 的图象上，则 ()

A. $t=\frac{1}{2}$，$s$ 的最小值为 $\frac{\pi }{6}$　　　　　B. $t=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$s$ 的最小值为 $\frac{\pi }{6}$

C. $t=\frac{1}{2}$，$s$ 的最小值为 $\frac{\pi }{3}$　　　　　D. $t=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$s$ 的最小值为 $\frac{\pi }{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出 $t$ 值：点 $P$ 在 $y=\sin (2x-\frac{\pi }{3})$ 上，将 $x=\frac{\pi }{4}$ 代入解析式计算得出 $t$。
2. 确定 $P^{\prime }$ 坐标：点 $P(\frac{\pi }{4},t)$ 向左平移 $s$ 个单位，横坐标变为 $\frac{\pi }{4}-s$，纵坐标 $t$ 不变。即 $P^{\prime }(\frac{\pi }{4}-s,t)$。
3. 代入新函数：将 $P^{\prime }$ 代入 $y=\sin 2x$，得到关于 $s$ 的三角方程 $t=\sin 2(\frac{\pi }{4}-s)$。
4. 解方程求 $s$：利用诱导公式化简方程，结合 $s>0$ 求出其最小值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 计算 $t$： 将 $x=\frac{\pi }{4}$ 代入 $y=\sin (2x-\frac{\pi }{3})$，得： $t=\sin (2\times \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{3})=\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3})=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$。 （排除 B、D）

2. 建立 $s$ 的方程： 平移后点 $P^{\prime }(\frac{\pi }{4}-s,\frac{1}{2})$，将其代入 $y=\sin 2x$ 得： $\frac{1}{2}=\sin [2(\frac{\pi }{4}-s)]$ $\frac{1}{2}=\sin (\frac{\pi }{2}-2s)$ 根据诱导公式 $\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha$，方程化为： $\cos 2s=\frac{1}{2}$。

3. 求 $s$ 的最小值： 由 $\cos 2s=\frac{1}{2}$ 可知： $2s=2k\pi \pm \frac{\pi }{3}$ ($k\in \mathbb{Z}$)。 $s=k\pi \pm \frac{\pi }{6}$。 当 $k=0$ 时，$s=\pm \frac{\pi }{6}$。由于 $s>0$，取 $s=\frac{\pi }{6}$。 当 $k=1$ 时，$s$ 的值更大。 故 $s$ 的最小值为 $\frac{\pi }{6}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 点的平移 vs 图象平移：点的平移是坐标直接加减（左减右加），而图象变换（解析式变换）是“左加右减”。本题通过点来考查，思路更直观。
• 诱导公式：在处理 $\sin (\frac{\pi }{2}-\dots )$ 时，灵活运用诱导公式可以极大地简化方程。
• 此类题目常设陷阱于“向左”还是“向右”，以及 $s$ 的最小正值。解方程时务必写出通解 $2k\pi \pm \dots$ 以防漏掉最小解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若点 $P$ 向右平移 $s$ 个单位，则 $s$ 的最小值是多少？（此时 $2s=-\frac{\pi }{3}+2\pi$ 或 $2s=\frac{\pi }{3}$，需重新计算）。
2. 知识关联：本题综合了函数求值、图象变换和三角方程，是北京卷中典型的中档三角函数题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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