2016-北京卷理-12 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式、等差数列的前 n 项和公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(理)）已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和.若 $a_{1} = 6$ ， $a_{3} + a_{5} = 0$ ，则 $S_{6} =$ .

🔍【思路分析】

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方法一：基本量法（最稳健）

设等差数列的公差为 $d$ 。

利用通项公式 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ 将已知条件 $a_{3} + a_{5} = 0$ 转化为关于 $a_{1}$ 和 $d$ 的方程。

解出 $d$ 后，代入求和公式 $S_{n} = n a_{1} + \frac{n ( n - 1 )}{2} d$ 计算 $S_{6}$ 。

方法二：性质法（更快速）

利用等差中项性质： $a_{3} + a_{5} = 2 a_{4}$ 。由 $a_{3} + a_{5} = 0$ 可知 $a_{4} = 0$ 。

已知 $a_{1} = 6$ ， $a_{4} = a_{1} + 3 d = 0$ ，快速求出 $d = - 2$ 。

利用 $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ ，先求出 $a_{6} = a_{4} + 2 d = - 4$ ，则 $S_{6} = \frac{6 ( 6 - 4 )}{2}$ 。

✅【答案】

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6

✍【详细解析】

Abstract

解：设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ 。因为 $a_{1} = 6$ ， $a_{3} + a_{5} = 0$ ，根据通项公式有： $(a_{1} + 2 d) + (a_{1} + 4 d) = 0$ $2 a_{1} + 6 d = 0$ 将 $a_{1} = 6$ 代入： $12 + 6 d = 0 ⟹ 6 d = - 12 ⟹ d = - 2$ 。

计算前 6 项和 $S_{6}$ ： $S_{6} = 6 a_{1} + \frac{6 \times ( 6 - 1 )}{2} d$ $S_{6} = 6 \times 6 + 15 \times (- 2)$ $S_{6} = 36 - 30 = 6$ 。

故答案为 6

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

公式熟练度：等差数列的两个核心公式（通项与求和）是解决此类题目的唯一钥匙。

性质的妙用：在等差数列中， $a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ （只要 $m + n = p + q$ ）。利用这个性质往往能跳过公差 $d$ 直接求出目标值。

本题属于容易题，计算量极小，是北京卷中典型的基础得分点。注意不要在 $a_{3} + a_{5}$ 的下标转换中出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式训练：若题目改为 $a_{3} + a_{5} = 4$ ，则 $S_{6}$ 为多少？（此时 $2 a_{1} + 6 d = 4 ⟹ 12 + 6 d = 4 ⟹ d = - 4/3$ 。 $S_{6} = 36 + 15 (- 4/3) = 16$ ）。

知识关联：等差数列常与等比数列结合考查，或者是作为数列大题的第一步。

🔗【关联脉络】

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