2016-北京卷理-17 解-线面位置

本题导读

本题考查线面垂直的判定与性质、平面与平面垂直的性质。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(理)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，平面 $PAD\perp$ 平面 $ABCD$，$PA\perp PD$，$PA=PD$，$AB\perp AD$，$AB=1$，$AD=2$，$AC=CD=\sqrt{5}$.

(1)求证：$PD\perp$ 平面 $PAB$；

(2)求直线 $PB$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值；

(3)在棱 $PA$ 上是否存在点 $M$，使得 $BM//$ 平面 $PCD$？若存在，求 $\frac{AM}{AP}$ 的值；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（线面垂直）：利用面面垂直性质定理，由 $AB\perp AD$ 且面面垂直，得出 $AB\perp$ 平面 $PAD$。从而得到 $AB\perp PD$。结合已知 $PD\perp PA$，根据线面垂直判定定理即可得证。
2. 第二问（线面角）：

• 找原点定系：取 $AD$ 中点 $O$，连接 $PO,CO$。计算发现 $PO\perp AD$ 且 $CO\perp AD$。由于面面垂直，得出 $PO\perp$ 底面。建立以 $O$ 为原点的空间直角坐标系。
• 向量计算：写出点坐标及向量 $\overrightarrow{PB}$。求出平面 $PCD$ 的法向量 $\vec{n}$。
• 转化：$\sin \theta =|\cos ⟨\vec{n},\overrightarrow{PB}⟩|$。

3. 第三问（探索性问题）：设 $\frac{AM}{AP}=\lambda$，利用向量共线表示出 $M$ 的坐标，进而得到 $\overrightarrow{BM}$。利用线面平行的向量条件 $\overrightarrow{BM}\cdot \vec{n}=0$ 建立方程求解 $\lambda$。

✅【答案】

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（1）𝑃𝐷⟂平面𝑃𝐴𝐵.（2）√33.（3）存在，且𝐴𝑀

✍【详细解析】

Abstract

证明与解：

(1)证明：因为 平面 $PAD\perp$ 平面 $ABCD$，且平面 $PAD\cap$ 平面 $ABCD=AD$。 又因为 $AB\perp AD,AB\subset$ 平面 $ABCD$， 所以 $AB\perp$ 平面 $PAD$。 因为 $PD\subset$ 平面 $PAD$，所以 $AB\perp PD$。 又已知 $PD\perp PA$，且 $PA\cap AB=A$， 所以 $PD\perp$ 平面 $PAB$。

(2)解：取 $AD$ 的中点 $O$，连接 $PO$。 因为 $PA=PD$，所以 $PO\perp AD$。 又平面 $PAD\perp$ 平面 $ABCD$，所以 $PO\perp$ 平面 $ABCD$。 在底面 $ABCD$ 中，连接 $CO$。由于 $AC=CD=\sqrt{5},AO=OD=1$， 由勾股定理 $CO=\sqrt{(\sqrt{5}{)}^2-1^2}=2$，故 $CO\perp AD$。 以 $O$ 为原点，建立空间直角坐标系 $O-xyz$。

由已知得：$P(0,0,1),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),A(0,1,0)$。 $\overrightarrow{PB}=(1,1,-1),\overrightarrow{PD}=(0,-1,-1),\overrightarrow{PC}=(2,0,-1)$。 设平面 $PCD$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$。 $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{PD}=-y-z=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{PC}=2x-z=0\end{array}$，取 $z=1$，得 $\vec{n}=(\frac{1}{2},-1,1)$。 设直线 $PB$ 与平面 $PCD$ 所成角为 $\theta$，则： $\sin \theta =\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{PB}|}{|\vec{n}||\overrightarrow{PB}|}=\frac{|\frac{1}{2}-1-1|}{\sqrt{\frac{1}{4}+1+1}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 故直线 $PB$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$。

(3)解：假设存在点 $M$。设 $\frac{AM}{AP}=\lambda$ ($0\le \lambda \le 1$)。 $\overrightarrow{AP}=(0,-1,1)$。由 $\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AP}$ 得 $M(0,1-\lambda ,\lambda )$。 $\overrightarrow{BM}=(-1,-\lambda ,\lambda )$。 若 $BM//$ 平面 $PCD$，则 $\overrightarrow{BM}\cdot \vec{n}=0$。 $-\frac{1}{2}+\lambda +\lambda =0⟹2\lambda =\frac{1}{2}⟹\lambda =\frac{1}{4}$。 因为 $\lambda =\frac{1}{4}\in [0,1]$， 所以存在点 $M$ 使得 $BM//$ 平面 $PCD$，此时 $\frac{AM}{AP}=\frac{1}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 建系条件：立体几何大题若使用向量法，建系的合规性（证明三轴垂直）是得分关键。
• 计算精度：向量的点乘与模长计算需非常细心，一旦法向量求错，后续全盘皆错。
• 探索性结论：求出 $\lambda$ 后需验证其是否在 $[0,1]$ 范围内，若超出范围则结论为“不存在”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若问 $M$ 点到平面 $PCD$ 的距离，如何计算？（利用公式 $d=\frac{|\overrightarrow{BM}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$，此时 $M$ 不在平面上）。
2. 知识关联：本题完美展示了几何法证明（第一问）与向量法求解（二、三问）的结合，是高考立体几何的标准模版。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III理-12 单-向量
• 2017-全国卷II文-04 单-向量垂直

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