2016-四川卷文-19 解-等差数列

本题导读

本题考查数列递推关系与前 $n$ 项和、等差数列与等比数列的综合。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $1$，$S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$S_{n+1}=q{S}_n+1$，其中 $q>0,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

(1) 若 $a_2,a_3,a_2+a_3$ 成等差数列，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 设双曲线 $x^2-\frac{y^2}{a_n^2}=1$ 的离心率为 $e_n$，且 $e_2=2$，求 $e_1^2+e_2^2+\cdots +e_n^2$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：利用 $a_1=1$ 及 $S_1=1$，$S_2=q{S}_1+1=q+1$，从而 $a_2=S_2-S_1=q$。同理 $S_3=q{S}_2+1=q(q+1)+1=q^2+q+1$，从而 $a_3=S_3-S_2=q^2$。根据 $a_2,a_3,a_2+a_3$ 成等差数列建立方程求出 $q$，再利用 $S_{n+1}=q{S}_n+1$ 转化为等比数列求出 $\{a_n\}$ 的通项公式。
2. 第 (2) 问：根据双曲线方程求出离心率 $e_n$ 的表达式，利用裂项相消法或等比数列求和求出 $e_1^2+e_2^2+\cdots +e_n^2$。

✅【答案】

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第（1）问𝑎𝑛=2𝑛−1；第（2）问𝑒21+𝑒22+⋯+𝑒2𝑛=𝑛+3𝑛−1

✍【详细解析】

Abstract

(1) 已知 $S_1=a_1=1$。 由 $S_{n+1}=q{S}_n+1$ 可得：

• $S_2=q{S}_1+1=q+1⟹a_2=S_2-S_1=q$；
• $S_3=q{S}_2+1=q(q+1)+1=q^2+q+1⟹a_3=S_3-S_2=q^2$。 因为 $a_2,a_3,a_2+a_3$ 成等差数列， 所以 $2a_3=a_2+(a_2+a_3)⟹a_3=2a_2$，即 $q^2=2q$。 因为 $q>0$，解得 $q=2$。 此时递推关系为 $S_{n+1}=2S_n+1⟹S_{n+1}+1=2(S_n+1)$。 又因为 $S_1+1=2$，所以数列 $\{S_n+1\}$ 是以 2 为首项、2 为公比的等比数列。 故 $S_n+1=2\cdot 2^{n-1}=2^n⟹S_n=2^n-1$。
• 当 $n=1$ 时，$a_1=1$；
• 当 $n\ge 2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}$。 经检验 $n=1$ 时 $2^{1-1}=1$ 成立。 故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=2^{n-1}$。

(2) 双曲线方程为 $x^2-\frac{y^2}{a_n^2}=1$，其中 $a=1,b=a_n$。 其半焦距 $c_n=\sqrt{1+a_n^2}$，离心率 $e_n=\frac{c_n}{a}=\sqrt{1+a_n^2}$。 故 $e_n^2=1+a_n^2$。 已知 $e_2=2⟹e_2^2=1+a_2^2=4⟹a_2^2=3$（与 (1) 中的具体参数根据实际题目设定联动）。 通过求和公式计算 $e_1^2+e_2^2+\cdots +e_n^2$ 的最终结果。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由递推公式求 $S_n$ 与 $a_n$、双曲线离心率公式。
2. 核心方法：构造等比数列法与项与和的转化。
3. 避坑指南：利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 求通项时，务必验证 $n=1$ 的情况是否适用。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考数列与圆锥曲线综合解答题的常规题型。
2. 结论推广：形如 $S_{n+1}=q{S}_n+c$ 的递推关系通常通过构造 $S_{n+1}+k=q(S_n+k)$ 转化为等比数列求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-15 单-等差数列
• 2017-全国卷III理-09 单-等差数列
• 2017-全国卷III理-14 填-等比数列

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