2016-四川卷理-08 单-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的几何性质（标准方程、焦点坐标）、向量的线性运算（定比分点），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(理)） 设 $O$ 为坐标原点，$P$ 是以 $F$ 为焦点的抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 上任意一点，$M$ 是线段 $PF$ 上的点，且 $|PM|=2|MF|$，则直线 $OM$ 的斜率的最大值为 ()

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　B. $\frac{2}{3}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设点坐标：焦点 $F(\frac{p}{2},0)$。设 $P$ 为抛物线上的参数坐标 $(2p{t}^2,2pt)$。
2. 定比分点坐标：由 $|PM|=2|MF|$ 可知 $M$ 分有向线段 $\overrightarrow{PF}$ 的比为 $2$，或者说 $\overrightarrow{FM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{FP}$。利用分点坐标公式求出 $M(x,y)$。
3. 构造斜率函数：根据 $k_{OM}=\frac{y}{x}$，写出关于变量 $t$ 的表达式。
4. 求最值：利用基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 处理分式函数，求出最大值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 坐标设定： 抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点为 $F(\frac{p}{2},0)$。 设点 $P(x_0,y_0)$，则可令 $x_0=\frac{y_0^2}{2p}$。为简化计算，设 $y_0=2pt$（$t>0$），则 $x_0=2p{t}^2$。即 $P(2p{t}^2,2pt)$。

2. 求点 M 坐标： 由 $M$ 在线段 $PF$ 上且 $|PM|=2|MF|$，知 $\overrightarrow{FM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{FP}$。 $\overrightarrow{FP}=(2p{t}^2-\frac{p}{2},2pt)$。 设 $M(x,y)$，由 $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{OF}+\frac{1}{3}\overrightarrow{FP}$ 得： $x=\frac{p}{2}+\frac{1}{3}(2p{t}^2-\frac{p}{2})=\frac{p}{2}+\frac{2p{t}^2}{3}-\frac{p}{6}=\frac{2p{t}^2}{3}+\frac{p}{3}$。 $y=0+\frac{1}{3}(2pt)=\frac{2pt}{3}$。

3. 计算斜率： $k_{OM}=\frac{y}{x}=\frac{\frac{2pt}{3}}{\frac{2p{t}^2}{3}+\frac{p}{3}}=\frac{2pt}{2p{t}^2+p}=\frac{2t}{2t^2+1}$。

4. 利用基本不等式求最值： 当 $t>0$ 时，$k_{OM}=\frac{2}{2t+\frac{1}{t}}$。 由基本不等式知 $2t+\frac{1}{t}\ge 2\sqrt{2t\cdot \frac{1}{t}}=2\sqrt{2}$。 故 $k_{OM}\le \frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 当且仅当 $2t=\frac{1}{t}$，即 $t=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时取等号。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 参数方程的优越性：对于抛物线动点问题，使用参数坐标（如 $x=2p{t}^2,y=2pt$）比直接用 $(x,y)$ 能更有效地减少变量个数。
• 定比分点几何化：注意 $\overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{MF}$ 意味着 $M$ 靠近 $F$ 点。公式应用时需找准基点（如 $\vec{F}$ 或 $\vec{P}$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目改为求 $△OMF$ 面积的最大值，则需建立面积关于 $t$ 的函数再求导或利用不等式。
• 几何直观：直线 $OM$ 的斜率最大时，对应的直线 $OM$ 与点 $M$ 的轨迹圆/曲线相切。本题中点 $M$ 的轨迹也是一条抛物线。
• 易错警示：在应用均值不等式前，必须确认自变量 $t$ 的符号。若 $t$ 可正可负，需分类讨论其绝对值，最大斜率对应 $t>0$ 的部分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III文-20 解-抛物线

专题合集 (Series)