2016-四川卷理-09 单-几何证明

本题导读

本题考查导数的几何意义（切线斜率）、直线垂直的条件（斜率乘积为 -1），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(理)） 设直线 $l_1,l_2$ 分别是函数 $f(x)=\{\begin{array}{l}-\ln x,0<x<1\\ \ln x,x>1\end{array}$ 图象上点 $P_1,P_2$ 处的切线，$l_1$ 与 $l_2$ 垂直相交于点 $P$，且 $l_1,l_2$ 分别与 $y$ 轴相交于点 $A,B$，则 $△PAB$ 的面积的取值范围是 ()

A. (0, 1)　　　　B. (0, 2)　　　　C. (0, $+\infty$)　　　　D. (1, $+\infty$)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求导确定斜率：设 $P_1(x_1,\ln x_1)$ ($x_1>1$)，$P_2(x_2,-\ln x_2)$ ($0<x_2<1$)。对两段函数分别求导，求出切线 $l_1,l_2$ 的斜率 $k_1,k_2$。
2. 利用垂直关系消元：根据 $k_1\cdot k_2=-1$，建立 $x_1$ 与 $x_2$ 的关系，从而将问题转化为单变量问题。
3. 求出关键点坐标：

• 写出 $l_1,l_2$ 的点斜式方程。
• 令 $x=0$ 分别求出 $A,B$ 的纵坐标，计算底边长 $|AB|=|y_A-y_B|$。
• 联立直线方程求出交点 $P$ 的横坐标 $x_P$，即为 $△PAB$ 以 $AB$ 为底时的“高”。

4. 构造面积函数并求值域：由 $S=\frac{1}{2}|AB|\cdot |x_P|$ 得到关于 $x_1$ 的表达式，利用不等式或函数单调性判断范围。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 求导与斜率： 当 $x>1$ 时，$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$，则 $k_1=\frac{1}{x_1}$。 当 $0<x<1$ 时，$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x}$，则 $k_2=-\frac{1}{x_2}$。 因为 $l_1\perp l_2$，所以 $k_1{k}_2=-1⟹(\frac{1}{x_1})(-\frac{1}{x_2})=-1⟹x_1{x}_2=1$，即 $x_2=\frac{1}{x_1}$。

2. 直线方程与截距： $l_1:y-\ln x_1=\frac{1}{x_1}(x-x_1)⟹$ 令 $x=0,y_A=\ln x_1-1$。 $l_2:y-(-\ln x_2)=-\frac{1}{x_2}(x-x_2)⟹y+\ln \frac{1}{x_1}=-x_1(x-\frac{1}{x_1})⟹y-\ln x_1=-x_{1}x+1$。 令 $x=0,y_B=\ln x_1+1$。 故底边 $|AB|=|y_B-y_A|=2$。

3. 求交点 P 的横坐标： 联立 $l_1,l_2$: $\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{x_1}x-1+\ln x_1\\ y=-x_{1}x+1+\ln x_1\end{array}$ 消去 $y$ 得：$\frac{1}{x_1}x-1=-x_{1}x+1⟹(\frac{1}{x_1}+x_1)x=2⟹x_P=\frac{2x_1}{1+x_1^2}$。

4. 计算面积与范围： $S_{△PAB}=\frac{1}{2}|AB|\cdot |x_P|=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \frac{2x_1}{1+x_1^2}=\frac{2x_1}{1+x_1^2}=\frac{2}{x_1+\frac{1}{x_1}}$。 因为 $x_1>1$，由均值不等式知 $x_1+\frac{1}{x_1}>2$。 所以 $0<\frac{2}{x_1+\frac{1}{x_1}}<\frac{2}{2}=1$。 即 $S\in (0,1)$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 导数工具性：切线斜率即该点导数值，这是解析几何与微积分结合的桥梁。

• 对称性美感：本题中 $x_1{x}_2=1$ 的关系简化了计算。

• 面积处理技巧：在涉及 $y$ 轴截距的三角形中，以 $y$ 轴上的线段为底，交点的横坐标绝对值为高是最简便的计算方式。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果函数改为 $f(x)=e^x$，类似的切线垂直问题通常会涉及到 $e^{x_1}\cdot e^{x_2}=1$（即 $x_1+x_2=0$）的对称性。
• 几何背景：函数 $y=|\ln x|$ 的图象关于直线 $x=1$ 并不对称，但其切线斜率倒数关系呈现出一种特殊的几何联动。
• 易错警示：注意 $x_1>1$ 这个条件决定了 $x_1+\frac{1}{x_1}$ 不能取到 $2$（除非 $x_1=1$，但 $1$ 处不可导），因此面积范围是开区间 $(0,1)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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