2016-四川卷理-10 单-参数方程

本题导读

本题考查平面向量的数量积与模、向量的线性运算（中点公式），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(理)） 在平面内，定点 $A,B,C,D$ 满足 $|\overrightarrow{DA}|=|\overrightarrow{DB}|=|\overrightarrow{DC}|$，$\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}\cdot \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DA}=-2$.动点 $P,M$ 满足 $|\overrightarrow{AP}|=1$，$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}$，则 $|\overrightarrow{BM}{|}^2$ 的最大值是 ()

A. $\frac{43}{4}$　　　　　B. $\frac{49}{4}$　　　　　C. $\frac{37+6\sqrt{3}}{4}$　　　　　D. $\frac{37+2\sqrt{33}}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定定点构型： 设 $|\overrightarrow{DA}|=|\overrightarrow{DB}|=|\overrightarrow{DC}|=r$。 由数量积定义，$\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DB}=r^2\cos \angle ADB=-2$。 同理可知 $\angle ADB=\angle BDC=\angle CDA=120^{\circ }$。 由于三角之和为 $360^{\circ }$，这符合平面内构型。 由 $r^2\cos 120^{\circ }=-2⟹-\frac{1}{2}{r}^2=-2⟹r=2$。 这意味着 $D$ 是等边 $△ABC$ 的外心（中心）。
2. 建立坐标系： 以 $D$ 为原点，$\overrightarrow{DA}$ 方向为 $x$ 轴正方向建立平面直角坐标系。 $A(2,0)$，$B(-1,-\sqrt{3})$，$C(-1,\sqrt{3})$。
3. 处理动点： $|\overrightarrow{AP}|=1⟹P$ 点轨迹是以 $A(2,0)$ 为圆心，1 为半径的圆。设 $P(x,y)$，则 $(x-2{)}^2+y^2=1$。 $\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}⟹M$ 是线段 $PC$ 的中点。 由中点坐标公式：$M(\frac{x-1}{2},\frac{y+\sqrt{3}}{2})$。
4. 转化目标式： 计算 $|\overrightarrow{BM}{|}^2$，将其表示为关于 $x,y$ 的函数。 $|\overrightarrow{BM}{|}^2=(\frac{x-1}{2}-(-1){)}^2+(\frac{y+\sqrt{3}}{2}-(-\sqrt{3}){)}^2=\frac{(x+1{)}^2+(y+3\sqrt{3}{)}^2}{4}$。 目标式分子部分即为圆上的点 $P(x,y)$ 到定点 $Q(-1,-3\sqrt{3})$ 距离的平方。
5. 求最值： 利用“圆外一点到圆上点距离的最大值 = 该点到圆心的距离 + 半径”进行计算。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 定点分析： 由 $|\overrightarrow{DA}|=|\overrightarrow{DB}|=|\overrightarrow{DC}|=r$ 及 $\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}\cdot \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DA}=-2$， 得 $\cos \angle ADB=\cos \angle BDC=\cos \angle CDA=-\frac{2}{r^2}$。 在平面内必有 $3\times 120^{\circ }=360^{\circ }$，故 $\cos 120^{\circ }=-1/2=-2/r^2⟹r^2=4⟹r=2$。
2. 建系定位： 以 $D$ 为原点，建立坐标系如前述：$A(2,0),B(-1,-\sqrt{3}),C(-1,\sqrt{3})$。
3. 动点轨迹： 设 $P(x,y)$，则 $(x-2{)}^2+y^2=1$。 $M$ 为 $PC$ 中点，则 $M(\frac{x-1}{2},\frac{y+\sqrt{3}}{2})$。 $\overrightarrow{BM}=(\frac{x+1}{2},\frac{y+3\sqrt{3}}{2})$。 $|\overrightarrow{BM}{|}^2=\frac{1}{4}[(x+1{)}^2+(y+3\sqrt{3}{)}^2]$。
4. 几何求解： 设 $Q(-1,-3\sqrt{3})$，则分式内部为 $|PQ{|}^2$。 点 $Q$ 到圆心 $A(2,0)$ 的距离为 $d=\sqrt{(2-(-1){)}^2+(0-(-3\sqrt{3}){)}^2}=\sqrt{3^2+(3\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{9+27}=6$。 点 $P$ 在以 $A$ 为圆心，$R=1$ 的圆上，故 $|PQ{|}_{max}=d+R=6+1=7$。 因此，$|\overrightarrow{BM}{|}_{max}^2=\frac{1}{4}\times 7^2=\frac{49}{4}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 基底法 vs 坐标法：本题若用基底法展开 $|\overrightarrow{BM}{|}^2=|\frac{1}{2}(\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{BC}){|}^2$ 会涉及复杂的夹角计算。而坐标法能将复杂的向量模问题转化为圆与点的距离问题，逻辑更清晰。
• 几何转化能力：识别出 $(x+1{)}^2+(y+3\sqrt{3}{)}^2$ 是两点间距离公式的结构，是解决此类最值题的“题眼”。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果要求的是 $|\overrightarrow{BM}{|}^2$ 的最小值，则为 $\frac{1}{4}(d-R{)}^2=\frac{1}{4}(6-1{)}^2=\frac{25}{4}$。
• 解题技巧：在处理“动点 $P$ 满足 $|\overrightarrow{AP}|=R$”的题目时，优先联想到圆。在处理“$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}$”或“$\overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{MC}$”时，优先联想到分点坐标公式。
• 关联背景：此构型常出现在空间向量中（如正三棱锥的顶点在底面的射影），但在平面题目中，它代表的是正三角形的中心对称性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III文-22 解-参数方程

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