2016-四川卷理-20 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质（焦距、短轴）、直线与椭圆的位置关系（相切、相交）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(理)） 已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 $l:y=-x+3$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $T$.

(1)求椭圆 $E$ 的方程及点 $T$ 的坐标；

(2)设 $O$ 是坐标原点，直线 $l^{\prime }$ 平行于 $OT$，与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A,B$，且与直线 $l$ 交于点 $P$.证明：存在常数 $\lambda$，使得 $|PT{|}^2=\lambda |PA|\cdot |PB|$，并求 $\lambda$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求方程与切点）：

• 几何特征：焦点为 $(\pm c,0)$，短轴端点为 $(0,b)$。由对称性，直角顶点必在短轴端点，即 $b=c$。结合 $a^2=b^2+c^2$，得到 $a^2=2b^2$。
• 相切条件：将 $y=-x+3$ 代入椭圆方程，令 $\Delta =0$ 求出 $b^2$。
• 求点 T：$\Delta =0$ 时的重根即为切点 $T$ 的横坐标。

2. 第二问（证明定值）：

• 求 OT 斜率：由第一问求得的 $T$ 坐标得到 $k_{OT}$，设出 $l^{\prime }$ 的方程。
• 求点 P：联立 $l^{\prime }$ 与 $l$ 求出 $P$ 的坐标，进而计算 $|PT{|}^2$。
• 求弦长积：设 $A,B$ 坐标，联立 $l^{\prime }$ 与椭圆方程。利用弦长公式 $|PA|=\sqrt{1+k^2}|x_P-x_1|$，并利用韦达定理化简 $|PA|\cdot |PB|$。
• 求 $\lambda$：比较两者的表达式。

✅【答案】

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（1）椭圆方程为𝑥26+𝑦23=1，𝑇=(2,1).

✍【详细解析】

Abstract

解： (1)

1. 确定几何量： 由题意，短轴端点到焦点的连线相互垂直，则 $b=c$。 故 $a^2=b^2+c^2=2b^2$。椭圆方程为 $\frac{x^2}{2b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。
2. 联立求 b： 将 $y=-x+3$ 代入 $x^2+2y^2=2b^2$ 得：$3x^2-12x+18-2b^2=0$。 令 $\Delta =144-12(18-2b^2)=0⟹144-216+24b^2=0⟹24b^2=72⟹b^2=3$。 故 $a^2=6$。椭圆方程为 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$。
3. 求切点 T： 当 $b^2=3$ 时，方程为 $3x^2-12x+12=0⟹(x-2{)}^2=0⟹x=2$。 代入 $y=-x+3$ 得 $y=1$。故 $T(2,1)$。

(2)

1. 确定 $l^{\prime }$ 方程： $k_{OT}=\frac{1}{2}$，设 $l^{\prime }:y=\frac{1}{2}x+m(m\ne 0)$。
2. 计算 $|PT{|}^2$： 联立 $l,l^{\prime }$：$\{\begin{array}{l}y=-x+3\\ y=\frac{1}{2}x+m\end{array}⟹\frac{3}{2}x=3-m⟹x_P=2-\frac{2m}{3}$。 $y_P=-(2-\frac{2m}{3})+3=1+\frac{2m}{3}$。 $|PT{|}^2=(x_P-2{)}^2+(y_P-1{)}^2=(-\frac{2m}{3}{)}^2+(\frac{2m}{3}{)}^2=\frac{8}{9}{m}^2$。
3. 计算 $|PA|\cdot |PB|$： 联立 $l^{\prime }$ 与椭圆：$x^2+2(\frac{1}{2}x+m{)}^2=6⟹3x^2+4mx+(4m^2-12)=0$。 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。由韦达定理：$x_1+x_2=-\frac{4m}{3},x_1{x}_2=\frac{4m^2-12}{3}$。 $|PA|\cdot |PB|=(1+k^2)|x_P-x_1|\cdot |x_P-x_2|=\frac{5}{4}|x_P^2-(x_1+x_2)x_P+x_1{x}_2|$。 代入 $x_P=\frac{6-2m}{3}$ 及韦达定理： 分量 $x_P^2-(x_1+x_2)x_P+x_1{x}_2=(\frac{6-2m}{3}{)}^2+\frac{4m}{3}(\frac{6-2m}{3})+\frac{4m^2-12}{3}=\frac{8m^2}{9}$。 故 $|PA|\cdot |PB|=\frac{5}{4}\cdot \frac{8m^2}{9}=\frac{10}{9}{m}^2$。
4. 得出结论： $\frac{|PT{|}^2}{|PA|\cdot |PB|}=\frac{8/9m^2}{10/9m^2}=\frac{4}{5}$。 故存在常数 $\lambda =\frac{4}{5}$，使得 $|PT{|}^2=\lambda |PA|\cdot |PB|$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 相切的本质：直线与圆锥曲线相切，判别式 $\Delta =0$ 是最通用的手段。

• 计算技巧：在处理 $|PA|\cdot |PB|$ 时，若 $P,A,B$ 共线，利用横坐标之差的绝对值结合 $\sqrt{1+k^2}$ 展开，比直接用两点间距离公式更易化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 推广结论：本题结论与直线 $l^{\prime }$ 的具体位置 $m$ 无关，体现了圆锥曲线的一种仿射性质。
• 变式思考：若 $l^{\prime }$ 的斜率发生变化，$\lambda$ 的值也会随之改变，但只要 $l^{\prime }$ 的斜率固定，$\lambda$ 始终为常数。
• 解析几何大题策略：解析几何大题计算量大，第一问务必算准，否则第二问将全盘皆错。建系、联立、韦达定理、目标式化简是标准“四部曲”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

（1）椭圆方程为𝑥26+𝑦23=1，𝑇=(2,1).

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-上海卷-20 解-椭圆综合
• 2017-全国卷III文-11 单-椭圆

专题合集 (Series)