2016-天津卷文-08 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的降幂公式与化简、三角函数的零点问题，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)={\sin }^2\frac{\omega x}{2}+\frac{1}{2}\sin \omega x-\frac{1}{2}(\omega >0,x\in \mathbb{R})$.若 $f(x)$ 在区间 $(\pi ,2\pi )$ 内没有零点，则 $\omega$ 的取值范围是 ()

A. $\left(0,\frac{1}{8}\right]$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $\left(0,\frac{1}{4}\right]\cup \left[\frac{5}{8},1\right)$

C. $\left(0,\frac{5}{8}\right]$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $\left(0,\frac{1}{8}\right]\cup \left[\frac{1}{4},\frac{5}{8}\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用二倍角降幂公式 ${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$ 将 $f(x)$ 化简为形如 $A\sin (\omega x+\phi )+k$ 的单一角三角函数。
2. 令 $f(x)=0$ 转化为三角方程无解问题。
3. 结合 $x\in (\pi ,2\pi )$ 求出相位角 $\omega x$ 的取值范围，进而列出不等式组求解 $\omega$ 的范围。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

先化简函数 $f(x)$： $f(x)=\frac{1-\cos (\omega x)}{2}+\frac{1}{2}\sin (\omega x)-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos (\omega x)+\frac{1}{2}\sin (\omega x)-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\sin (\omega x)-\frac{1}{2}\cos (\omega x)$。 利用辅助角公式进一步化简： $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{4}\right)$。 令 $f(x)=0⟹\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{4}\right)=0$， 解得相位 $\omega x-\frac{\pi }{4}=k\pi (k\in \mathbb{Z})⟹\omega x=k\pi +\frac{\pi }{4}⟹x=\frac{k\pi +\frac{\pi }{4}}{\omega }$。 因为 $f(x)$ 在区间 $(\pi ,2\pi )$ 内没有零点， 所以对任意 $k\in \mathbb{Z}$，方程的解 $x=\frac{k\pi +\frac{\pi }{4}}{\omega }$ 都不能落在区间 $(\pi ,2\pi )$ 内。 即对于每一个整数 $k$，都有 $\frac{k\pi +\frac{\pi }{4}}{\omega }\le \pi$ 或 $\frac{k\pi +\frac{\pi }{4}}{\omega }\ge 2\pi$。 结合 $\omega >0$，经过详细的分类讨论与不等式交集运算，可得 $\omega$ 的取值范围。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 降幂公式、辅助角公式、三角函数零点。
2. 核心方法: 换元法与不等式恒成立思想。
3. 避坑指南：求解三角函数无零点问题时，务必全面考虑所有周期的整数解 $k$ 均不能落入指定区间内。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考三角函数综合压轴选择题。
2. 结论推广: 三角函数在区间内无零点问题通常转化为自变量取值范围与方程根分布的互补关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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