2016-山东卷文-07 单-圆的标准方程

本题导读

本题考查圆的标准方程与一般方程、直线与圆的相交弦长公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(文)） 已知圆 $M:x^2+y^2-2ay=0(a>0)$ 截直线 $x+y=0$ 所得线段的长度是 $2\sqrt{2}$，则圆 $M$ 与圆 $N:(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$ 的位置关系是 ()

A. 内切　　　　　B. 相交　　　　　C. 外切　　　　　D. 相离

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将圆 $M$ 的方程化为标准方程，确定圆心坐标和半径 $R$。
2. 利用直线截圆的弦长公式（半弦长、弦心距、半径构成直角三角形）求出参数 $a$ 的值。
3. 计算圆 $M$ 与圆 $N$ 的圆心距 $d$，与两圆半径的和差进行比较，确定位置关系。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

圆 $M$ 的方程 $x^2+y^2-2ay=0$ 可化为标准方程： $x^2+(y-a{)}^2=a^2$， 故圆心 $M(0,a)$，半径 $R=a$（因为 $a>0$）。 圆心 $M(0,a)$ 到直线 $x+y=0$ 的距离为： $d=\frac{|0+a|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。 已知截得的弦长为 $2\sqrt{2}$，则半弦长为 $\sqrt{2}$。 在由半径 $R$、弦心距 $d$ 和半弦长构成的直角三角形中： $R^2=d^2+(\text{半弦长}{)}^2⟹a^2={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)}^2+(\sqrt{2}{)}^2$ $a^2=\frac{1}{2}{a}^2+2⟹\frac{1}{2}{a}^2=2⟹a^2=4$。 因为 $a>0$，解得 $a=2$。 此时圆 $M$ 的圆心为 $M(0,2)$，半径 $R=2$。 另一圆 $N:(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$ 的圆心为 $N(1,1)$，半径 $r=1$。 计算两圆心之间的距离 $d_{MN}$： $d_{MN}=\sqrt{(0-1{)}^2+(2-1{)}^2}=\sqrt{(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{2}$。 两圆半径的和与差分别为： $R+r=2+1=3$，$R-r=2-1=1$。 因为 $R-r<d_{MN}<R+r$（即 $1<\sqrt{2}<3$）， 所以圆 $M$ 与圆 $N$ 的位置关系是相交。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与圆的弦长、两圆位置关系判断。
2. 核心方法：利用直角三角形（半径、弦心距、半弦长）求解圆的参数。
3. 避坑指南：计算圆心距与半径和差时，注意开根号的准确性，$\sqrt{2}\approx 1.414$ 介于 1 和 3 之间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考解析几何中圆的综合应用常规题。
2. 结论推广：判断两圆位置关系的标准方法是比较圆心距 $d$ 与 $R\pm r$ 的大小关系。

🔗【关联脉络】

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B

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-14 填-圆的标准方程
• 2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程
• 2014-江苏卷-17 解-椭圆的标准方程

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