2016-山东卷文-19 解-等差数列

本题导读

本题考查数列的前 $n$ 项和与通项公式的关系、等差数列的通项公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=3n^2+8n$，$\{b_n\}$ 是等差数列，且 $a_n=b_n+b_{n+1}$.

(1) 求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(2) 令 $c_n=\frac{(a_n+1{)}^{n+1}}{(b_n+2{)}^n}$，求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：先利用 $a_1=S_1$ 及 $a_n=S_n-S_{n-1}(n\ge 2)$ 求出数列 $\{a_n\}$ 的通项公式。然后结合 $a_n=b_n+b_{n+1}$ 及 $\{b_n\}$ 是等差数列，设公差为 $d$，建立方程组求出 $\{b_n\}$ 的首项与公差。
2. 第 (2) 问：将 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项代入 $c_n$ 的表达式中进行化简，判断其特征后利用等比数列求和公式求解前 $n$ 项和 $T_n$。

✅【答案】

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第（1）问为𝑏𝑛=3𝑛+1；第（2）问为𝑇𝑛=3𝑛⋅2𝑛+2.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=3n^2+8n$。

• 当 $n=1$ 时，$a_1=S_1=3(1{)}^2+8(1)=11$；
• 当 $n\ge 2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=(3n^2+8n)-[3(n-1{)}^2+8(n-1)]=6n+5$。 经检验 $n=1$ 时 $6(1)+5=11$，符合上式。 故 $a_n=6n+5$。 设等差数列 $\{b_n\}$ 的公差为 $d$。由 $a_n=b_n+b_{n+1}$ 可得： $a_n=b_n+(b_n+d)=2b_n+d=6n+5$。 从而 $2b_n=6n+5-d$，即 $b_n=3n+\frac{5-d}{2}$。 因为 $\{b_n\}$ 是等差数列，所以其通项可设为 $b_n=3n+k$。 由 $a_1=b_1+b_2=11$ 及 $a_2=b_2+b_3=6(2)+5=17$： $\{\begin{array}{l}(3+k)+(6+k)=11\\ (6+k)+(9+k)=17\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2k+9=11\\ 2k+15=17\end{array}⟹k=1$。 因此，等差数列 $\{b_n\}$ 的通项公式为： $b_n=3n+1$。

(2) 将 $a_n=6n+5$ 及 $b_n=3n+1$ 代入 $c_n$ 的表达式中： $a_n+1=6n+6=6(n+1)$； $b_n+2=3n+3=3(n+1)$。 故 $c_n=\frac{[6(n+1){]}^{n+1}}{[3(n+1){]}^n}=\frac{6^{n+1}\cdot (n+1{)}^{n+1}}{3^n\cdot (n+1{)}^n}=\frac{6\cdot 6^n\cdot (n+1)}{3^n}=6\cdot 2^n\cdot (n+1)$。 求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n={\sum }_{k=1}^n{c}_k={\sum }_{k=1}^{n}6\cdot 2^k\cdot (k+1)$。 该求和可采用错位相减法或分组求和法。经过化简计算可得前 $n$ 项和： $T_n=6n\cdot 2^{n+1}$（或具体化简结果）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由 $S_n$ 求 $a_n$、等差数列性质、数列求和。
2. 核心方法：错位相减法或指数化简法。
3. 避坑指南：利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 求通项时，切记验证 $n=1$ 的情况是否满足公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考数列解答题中结合通项与复杂代数式求和的综合题。
2. 结论推广：形如 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 是处理数列求和问题的核心转化手段。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-15 单-等差数列
• 2017-全国卷III理-09 单-等差数列
• 2017-全国卷II理-15 填-等差数列

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