2016-山东卷理-06 单-立体几何

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判断、空间点、线、面的位置关系，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(理)） 已知直线 $a,b$ 分别在两个不同的平面 $\alpha ,\beta$ 内.则“直线 $a$ 和直线 $b$ 相交”是“平面 $\alpha$ 和平面 $\beta$ 相交”的 ()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 充分性判断：若“直线 $a$ 和直线 $b$ 相交”，是否存在一个公共点？既然 $a\subset \alpha$ 且 $b\subset \beta$，那么 $a,b$ 的公共点必然同时属于 $\alpha$ 和 $\beta$。根据公理，若两个不重合的平面有一个公共点，它们必然相交于过该点的一条直线。
2. 必要性判断：若“平面 $\alpha$ 和平面 $\beta$ 相交”，直线 $a,b$ 是否一定相交？考虑反例：$\alpha ,\beta$ 相交于直线 $l$，我可以让 $a\parallel l$ 且 $b\parallel l$，此时 $a\parallel b$；或者让 $a,b$ 互为异面直线。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 充分性验证： 若直线 $a$ 与直线 $b$ 相交，设交点为 $P$。 因为 $a\subset \alpha$，所以 $P\in \alpha$。 因为 $b\subset \beta$，所以 $P\in \beta$。 即平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 至少有一个公共点 $P$。 由于 $\alpha ,\beta$ 是两个不同的平面，由平面的基本性质可知，$\alpha$ 与 $\beta$ 必然相交。 故充分性成立。

2. 必要性验证： 若平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 相交，设交线为 $l$。 可以在 $\alpha$ 内取直线 $a\parallel l$，在 $\beta$ 内取直线 $b\parallel l$。 此时直线 $a$ 与直线 $b$ 平行，并不相交。 或者取 $a,b$ 为异面直线。 故必要性不成立。

综上所述，“直线 $a$ 和直线 $b$ 相交”是“平面 $\alpha$ 和平面 $\beta$ 相交”的充分不必要条件。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心逻辑：线线有交点 $⟹$ 面面有公共点 $⟹$ 面面相交。
• 几何直观：* 常见误区：容易忽略“平面不同”这一前提。如果平面重合，结论将完全不同。在处理空间几何的逻辑题时，多构造“平行”或“异面”的反例是解题捷径。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若条件改为“直线 $a\parallel$ 直线 $b$”，它是“平面 $\alpha \parallel$ 平面 $\beta$”的什么条件？（答案：既不充分也不必要，因为 $a,b$ 平行时，面面可能相交于一条与它们平行的直线）。
• 知识关联： 这种模型常用于证明线面平行。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

A

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷理-02 单-充分条件与必要条件
• 2014-福建卷理-06 单-充分条件、必要条件、充要条件
• 2014-重庆卷理-06 单-充分条件与必要条件

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