2014-福建卷理-06 单-充分条件、必要条件、充要条件

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系以及充分必要条件的判定。解题核心在于明确“$p⟹q$”与“$q⟹p$”的真假，通过计算点到直线的距离和弦长，得到面积与斜率 $k$ 的一般关系式，进而做出判断。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(理)） 直线 $l:y=kx+1$ 与圆 $O:x^2+y^2=1$ 相交于 $A,B$ 两点，则 "$k=1$" 是 ”$△OAB$ 的面积为 $\frac{1}{2}$” 的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分又不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 验证充分性（$p⟹q$）：假设 $k=1$，将直线方程代入，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 $d$，利用垂径定理求出弦长 $|AB|$，计算 $△OAB$ 的面积，看是否等于 $\frac{1}{2}$。
2. 验证必要性（$q⟹p$）：假设 $△OAB$ 的面积为 $\frac{1}{2}$，反推斜率 $k$ 的值。可以通过建立面积 $S$ 关于参数 $k$ 的函数表达式 $S(k)$，解方程 $S(k)=\frac{1}{2}$，观察解集中是否只有 $k=1$。如果有其他解（如由对称性可猜测的 $k=-1$），则说明不是必要条件。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：验证充分性（若 $k=1$，则面积为 $\frac{1}{2}$ 是否成立） 当 $k=1$ 时，直线 $l$ 的方程为 $y=x+1$，即 $x-y+1=0$。 圆心 $O(0,0)$ 到直线 $l$ 的距离为 $d=\frac{|0-0+1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 圆的半径 $R=1$，由勾股定理可得弦长的一半为 $\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 所以弦长 $|AB|=2\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。 $△OAB$ 的面积 $S=\frac{1}{2}\times |AB|\times d=\frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$。 因此，充分性成立。

第二步：验证必要性（若面积为 $\frac{1}{2}$，则必定有 $k=1$ 是否成立） 直线 $l$ 的一般方程为 $kx-y+1=0$。 圆心 $O(0,0)$ 到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$。 弦长 $|AB|=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{1-\frac{1}{k^2+1}}=2\sqrt{\frac{k^2}{k^2+1}}$。 $△OAB$ 的面积 $S=\frac{1}{2}\times |AB|\times d=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{\frac{k^2}{k^2+1}}\times \frac{1}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{\sqrt{k^2}}{k^2+1}=\frac{|k|}{k^2+1}$。 令 $S=\frac{1}{2}$，得 $\frac{|k|}{k^2+1}=\frac{1}{2}$。 即 $k^2+1=2|k|$，移项得 $|k{|}^2-2|k|+1=0$。 解得 $(|k|-1{)}^2=0$，所以 $|k|=1$，即 $k=1$ 或 $k=-1$。 由此可知，当面积为 $\frac{1}{2}$ 时，$k$ 可以是 $1$ 或 $-1$，并非一定得 $k=1$。 因此，必要性不成立。

综上所述，“$k=1$”是“$△OAB$ 的面积为 $\frac{1}{2}$”的充分而不必要条件。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与圆位置关系、充分必要条件判定

2. 核心方法：分别验证充分性与必要性，用点到直线距离与弦长建立面积关于 $k$ 的函数

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 充分必要条件的双向推导

2. 结论推广: 面积 $S=\frac{|k|}{k^2+1}$，$S=\frac{1}{2}$ 对应 $k=\pm 1$。

3. 方法推广: 可迁移到利用参数化表达式反推充要条件类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 02.01 常用逻辑用语
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-03 单-充分条件、必要条件判定
• 2013-上海卷理-16 单-充分条件与必要条件
• 2013-浙江卷理-04 单-充分必要条件判定