2016-山东卷理-08 单-向量

本题导读

本题考查平面向量的数量积运算、向量垂直的充要条件，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(理)） 已知非零向量 $\vec{m},\vec{n}$ 满足 $4|\vec{m}|=3|\vec{n}|$，$\cos ⟨\vec{m},\vec{n}⟩=\frac{1}{3}$.若 $\vec{n}\perp (t\vec{m}+\vec{n})$，则实数 $t$ 的值为 ()

A. $4$　　　　　　　B. $-4$　　　　　　　C. $\frac{9}{4}$　　　　　　　D. $-\frac{9}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化垂直条件：根据向量垂直的定义，$\vec{n}\perp (t\vec{m}+\vec{n})⟺\vec{n}\cdot (t\vec{m}+\vec{n})=0$。
2. 展开数量积：利用分配律展开得 $t(\vec{m}\cdot \vec{n})+{\vec{n}}^2=0$。
3. 代入已知量：

• ${\vec{n}}^2=|\vec{n}{|}^2$。
• $\vec{m}\cdot \vec{n}=|\vec{m}|\cdot |\vec{n}|\cdot \cos ⟨\vec{m},\vec{n}⟩=|\vec{m}|\cdot |\vec{n}|\cdot \frac{1}{3}$。

4. 统一变量：利用 $4|\vec{m}|=3|\vec{n}|$（即 $|\vec{m}|=\frac{3}{4}|\vec{n}|$）将方程中的模长统一，消去非零模长后求出 $t$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 根据垂直条件列方程： 因为 $\vec{n}\perp (t\vec{m}+\vec{n})$，所以 $\vec{n}\cdot (t\vec{m}+\vec{n})=0$。 展开得：$t(\vec{m}\cdot \vec{n})+{\vec{n}}^2=0$。

2. 代入已知条件： 已知 $\cos ⟨\vec{m},\vec{n}⟩=\frac{1}{3}$，则 $\vec{m}\cdot \vec{n}=|\vec{m}|\cdot |\vec{n}|\cdot \frac{1}{3}$。 方程变为：$t\cdot |\vec{m}|\cdot |\vec{n}|\cdot \frac{1}{3}+|\vec{n}{|}^2=0$。

3. 利用模的关系消参： 已知 $4|\vec{m}|=3|\vec{n}|$，由于 $\vec{m},\vec{n}$ 为非零向量，可设 $|\vec{n}|\ne 0$。 代入 $|\vec{m}|=\frac{3}{4}|\vec{n}|$： $t\cdot (\frac{3}{4}|\vec{n}|)\cdot |\vec{n}|\cdot \frac{1}{3}+|\vec{n}{|}^2=0$ 化简得：$\frac{t}{4}|\vec{n}{|}^2+|\vec{n}{|}^2=0$。 因为 $|\vec{n}|\ne 0$，所以 $|\vec{n}{|}^2\ne 0$，两边同除以 $|\vec{n}{|}^2$： $\frac{t}{4}+1=0⟹t=-4$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 向量垂直的等价性：$\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$。这是向量解答题中最常用的转化手段。
• 数量积的定义：$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$。
• 消参技巧：在处理模长比例时，不需要求出具体的模长，只需将其统一为同一个变量，在方程两端消去即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 几何意义：本题可以理解为向量 $\vec{n}$ 在方向 $t\vec{m}+\vec{n}$ 上的投影为零。
• 变式思考：若题目改为 $(t\vec{m}+\vec{n})\perp (\vec{m}-\vec{n})$，则需展开 $(t\vec{m}+\vec{n})\cdot (\vec{m}-\vec{n})=0$，考察的是对数量积运算律的熟练程度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III理-12 单-向量
• 2017-全国卷II文-04 单-向量垂直

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