2016-山东卷理-14 填-几何概型

本题导读

本题考查几何概型、直线与圆的位置关系（相交条件），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(理)） 在 $[-1,1]$ 上随机地取一个数 $k$，则事件“直线 $y=kx$ 与圆 $(x-5{)}^2+y^2=9$ 相交”发生的概率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定几何背景：圆 $(x-5{)}^2+y^2=9$ 的圆心为 $M(5,0)$，半径 $r=3$。
2. 转化相交条件：直线 $kx-y=0$ 与圆相交，等价于圆心到直线的距离 $d<r$。
3. 建立不等式：利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，求出关于 $k$ 的范围。
4. 计算概率：已知 $k$ 的全集区间长度为 $2$。求出满足条件的 $k$ 区间长度，利用长度之比即为几何概型概率。

✅【答案】

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$\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 计算距离 $d$： 圆心为 $(5,0)$，半径 $r=3$。 圆心到直线 $kx-y=0$ 的距离 $d=\frac{|5k-0|}{\sqrt{k^2+(-1{)}^2}}=\frac{|5k|}{\sqrt{k^2+1}}$。

2. 求解 $k$ 的范围： 由 $d<r$ 得：$\frac{|5k|}{\sqrt{k^2+1}}<3$。 两边平方：$25k^2<9(k^2+1)$ $16k^2<9⟹k^2<\frac{9}{16}$。 解得：$-\frac{3}{4}<k<\frac{3}{4}$。

3. 计算几何概型概率： $k$ 的取值范围是 $[-1,1]$，总长度 $L=1-(-1)=2$。 满足条件的 $k$ 范围是 $(-\frac{3}{4},\frac{3}{4})$，长度 $l=\frac{3}{4}-(-\frac{3}{4})=\frac{3}{2}$。 故所求概率 $P=\frac{l}{L}=\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}$。

故答案为 $\frac{3}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 直线与圆位置关系的判别：
  • $d<r⟺$ 相交
  • $d=r⟺$ 相切
  • $d>r⟺$ 相离
• 几何概型公式：$P=\frac{\text{构成事件 }A\text{ 的区域长度/面积/体积}}{\text{试验全部结果所构成的区域长度/面积/体积}}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 数形结合： 从图形上看，直线绕原点旋转。当直线与圆相切时，斜率 $k$ 达到边界。计算出的 $\pm \frac{3}{4}$ 正是两条切线的斜率。
• 变式思考：若题目改为“相离”，则概率为 $1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2017-全国卷I文-04 单-几何概型
• 2017-全国卷I理-02 单-几何概型
• 2014-湖南卷文-05 单-几何概型

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