2016-山东卷理-18 解-等差数列

本题导读

本题考查数列的前n项和与通项的关系、等差数列的定义与性质。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=3n^2+8n$，$\{b_n\}$ 是等差数列，且 $a_n=b_n+b_{n+1}$.

(1)求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(2)令 $c_n=\frac{(a_n+1{)}^{n+1}}{(b_n+2{)}^n}$，求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求 $\{b_n\}$ 通项）：

• 求 $\{a_n\}$：利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ ($n\ge 2$) 及 $a_1=S_1$ 确定 $\{a_n\}$。
• 建立方程：设 $\{b_n\}$ 的公差为 $d$。由 $a_n=b_n+b_{n+1}$ 可知 $a_n=2b_n+d$。通过 $a_n$ 与 $a_{n-1}$ 作差求出 $d$，再利用 $a_1$ 求出 $b_1$。

2. 第二问（求 $T_n$）：

• 化简 $c_n$：代入 $a_n,b_n$ 的表达式。通常这类题目化简后会呈现为 $(An+B)\cdot q^n$ 的形式。
• 错位相减：列出 $T_n$ 的各项，再列出 $2T_n$（即公比倍的 $T_n$）的各项，两式错位相减，利用等比数列求和公式得出结论。

✅【答案】

点击查看答案

$（1）bn=3n+1.（2）Tn=3n\cdot 2n+2.$

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)因为 $S_n=3n^2+8n$， 当 $n=1$ 时，$a_1=S_1=3+8=11$； 当 $n\ge 2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=(3n^2+8n)-[3(n-1{)}^2+8(n-1)]=6n+5$。 验证 $n=1$ 时，$6\times 1+5=11$ 成立。所以 $a_n=6n+5$。 设等差数列 $\{b_n\}$ 的公差为 $d$。 由 $a_n=b_n+b_{n+1}$，得 $6n+5=b_n+(b_n+d)=2b_n+d$。 所以 $2b_n=6n+5-d$。 由于 $b_n$ 是等差数列，则 $2(b_{n+1}-b_n)=2d$。 代入得 $[6(n+1)+5-d]-[6n+5-d]=2d⟹6=2d⟹d=3$。 由 $a_1=b_1+b_2$ 得 $11=b_1+(b_1+3)⟹2b_1=8⟹b_1=4$。 所以 $b_n=4+3(n-1)=3n+1$。

(2)代入 $a_n,b_n$ 的表达式： $c_n=\frac{(6n+5+1{)}^{n+1}}{(3n+1+2{)}^n}=\frac{(6n+6{)}^{n+1}}{(3n+3{)}^n}=\frac{6^{n+1}(n+1{)}^{n+1}}{3^n(n+1{)}^n}=\frac{6\cdot 6^n}{3^n}(n+1)=6\cdot (n+1)\cdot 2^n$。 即 $c_n=3(n+1)\cdot 2^{n+1}$（或直接展开为 $6(n+1)\cdot 2^n$ 进行计算）。 $T_n=6[2\cdot 2^1+3\cdot 2^2+4\cdot 2^3+\cdots +(n+1)\cdot 2^n]\dots \text{(1)}$ $2T_n=6[2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+4\cdot 2^4+\cdots +n\cdot 2^n+(n+1)\cdot 2^{n+1}]\dots \text{(2)}$ ① - ② 得： $-T_n=6[2\cdot 2^1+(2^2+2^3+\cdots +2^n)-(n+1)\cdot 2^{n+1}]$ $-T_n=6[4+\frac{4(1-2^{n-1})}{1-2}-(n+1)\cdot 2^{n+1}]$ $-T_n=6[4+(4\cdot 2^{n-1}-4)-(n+1)\cdot 2^{n+1}]$ $-T_n=6[2^{n+1}-(n+1)\cdot 2^{n+1}]=6\cdot (-n\cdot 2^{n+1})=-6n\cdot 2^{n+1}$。 所以 $T_n=6n\cdot 2^{n+1}=3n\cdot 2^{n+2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 错位相减的计算细节：这是数列求和中最易出错的地方。注意：
  1. 首项通常是多出来的，中间项构成等比数列，最后一项带负号且也多出来。
  2. 等比数列的项数是 $n-1$。
• 化简意识：$c_n$ 的式子看起来很吓人，但作为高考压轴数列题，它必然能化简为等差与等比的积。如果化不简，请检查第一问结果。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 数列求和方法总结：
  • 公式法（等差、等比）
  • 裂项相消法（分式型，如 $\frac{1}{n(n+1)}$）
  • 错位相减法（混合型，如 $n\cdot 2^n$）
  • 倒序相加法（对称型，如 $C_n^k$）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-15 单-等差数列
• 2017-全国卷III理-09 单-等差数列
• 2017-全国卷II理-15 填-等差数列

专题合集 (Series)