2016-江苏卷-13 填-向量

本题导读

本题考查平面向量的数量积运算、向量的线性运算（加减与数乘），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 如图，在 $△ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$E$，$F$ 是 $AD$ 上的两个三等分点.若 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{CA}=4$，$\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{CF}=-1$，则 $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{CE}$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 选取基底：利用 $D$ 是 $BC$ 中点以及 $A,E,F,D$ 共线的特点，选取 $\overrightarrow{DB}$ 和 $\overrightarrow{DF}$ 作为基底。注意 $\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{DB}$。
2. 表达向量：根据三等分点关系，$\overrightarrow{DA}=3\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{DF}$。

• $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}=3\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{DB}$。
• $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{DB}$。
• $\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{DB}$。

3. 建立方程：利用平方差公式展开已知数量积，求出 $|\overrightarrow{DF}{|}^2$ 和 $|\overrightarrow{DB}{|}^2$。
4. 计算目标值：代入目标表达式求解。

✅【答案】

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$\frac{7}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 设 $\overrightarrow{DB}=\vec{m}$，$\overrightarrow{DF}=\vec{n}$，则 $\overrightarrow{DC}=-\vec{m}$。 由于 $D,F,E,A$ 共线且 $E,F$ 是 $AD$ 的三等分点，则 $\overrightarrow{DE}=2\vec{n}$，$\overrightarrow{DA}=3\vec{n}$。 因为 $\overrightarrow{DF}\perp \overrightarrow{DB}$ 并不一定成立，但 $\overrightarrow{DF}$ 与 $\overrightarrow{DB}$ 的夹角在计算平方差时会抵消（因为 $\vec{m}\cdot \vec{n}$ 与 $-\vec{m}\cdot \vec{n}$ 抵消）。

1. 由 $\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{CF}=-1$ 得： $(\vec{n}-\vec{m})\cdot (\vec{n}+\vec{m})=|\vec{n}{|}^2-|\vec{m}{|}^2=-1$ ①
2. 由 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{CA}=4$ 得： $(3\vec{n}-\vec{m})\cdot (3\vec{n}+\vec{m})=9|\vec{n}{|}^2-|\vec{m}{|}^2=4$ ②
3. 联立 ① ②： ② - ① 得：$8|\vec{n}{|}^2=5⟹|\vec{n}{|}^2=\frac{5}{8}$。 代入 ① 得：$|\vec{m}{|}^2=\frac{5}{8}+1=\frac{13}{8}$。
4. 计算目标值： $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{CE}=(2\vec{n}-\vec{m})\cdot (2\vec{n}+\vec{m})=4|\vec{n}{|}^2-|\vec{m}{|}^2$。 将结果代入：$4\times \frac{5}{8}-\frac{13}{8}=\frac{20}{8}-\frac{13}{8}=\frac{7}{8}$。

故答案为 $\frac{7}{8}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 中点性质：在涉及三角形中线或中点的向量题中，利用 $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\vec{0}$ 结合平方差公式是极常用的技巧。
• 基底选择：从图形的中心点（如 $D$）出发向四周分解向量，往往比从顶点（如 $A$）出发更对称、计算更简便。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 一般化规律： 若 $F$ 是 $AD$ 上满足 $\overrightarrow{DF}=k\overrightarrow{DA}$ 的点，则 $\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{CF}=k^2|\overrightarrow{DA}{|}^2-|\overrightarrow{DB}{|}^2$。本题实际上是考查了这种二次函数式的对应关系。
• 数形结合： 数量积的物理意义功，或几何意义上的投影。本题的结构展示了当动点在直线上匀速移动时，其对应的数量积值呈二次函数变化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III理-12 单-向量
• 2017-全国卷II文-04 单-向量垂直

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