2016-江苏卷-14 填-三角恒等

本题导读

本题考查三角恒等变换（和角公式）、三角函数诱导公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 在锐角三角形 $ABC$ 中，若 $\sin A=2\sin B\sin C$，则 $\tan A\tan B\tan C$ 的最小值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 角的关系转化：利用 $A+B+C=\pi$，将 $\sin A$ 展开为 $\sin (B+C)=\sin B\cos C+\cos B\sin C$。
2. 切值转化：将已知正弦式两边同除以 $\cos B\cos C$，从而建立 $\tan B+\tan C$ 与 $\tan B\tan C$ 的比例关系。
3. 构建目标函数：利用 $\tan A=-\tan (B+C)=\frac{\tan B+\tan C}{\tan B\tan C-1}$，将目标式 $\tan A\tan B\tan C$ 统一为关于 $t=\tan B\tan C$ 的函数。
4. 确定变量范围：锐角三角形意味着 $\tan A,\tan B,\tan C>0$，由此推导出 $t$ 的取值范围（$t>1$）。
5. 求解最值：利用导数或配方法求得函数的最值。

✅【答案】

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8

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 转化已知等式： 因为 $A+B+C=\pi$，所以 $\sin A=\sin (B+C)=\sin B\cos C+\cos B\sin C$。 已知 $\sin A=2\sin B\sin C$，代入得： $\sin B\cos C+\cos B\sin C=2\sin B\sin C$。 两边同除以 $\cos B\cos C$（锐角三角形中 $\cos B,\cos C\ne 0$）： $\tan B+\tan C=2\tan B\tan C$ ①
2. 表达 $\tan A$： $\tan A=\tan [\pi -(B+C)]=-\tan (B+C)=\frac{\tan B+\tan C}{\tan B\tan C-1}$。 将 ① 代入上式： $\tan A=\frac{2\tan B\tan C}{\tan B\tan C-1}$。
3. 建立目标函数： 令 $t=\tan B\tan C$。 由于 $△ABC$ 为锐角三角形，则 $\tan A>0⟹\frac{2t}{t-1}>0⟹t>1$。 目标式 $y=\tan A\tan B\tan C=\frac{2t}{t-1}\cdot t=\frac{2t^2}{t-1}$。
4. 求最值： $y=\frac{2(t^2-1+1)}{t-1}=\frac{2(t-1)(t+1)+2}{t-1}=2(t+1)+\frac{2}{t-1}$。 $y=2(t-1)+\frac{2}{t-1}+4$。 由于 $t-1>0$，由基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 得： $y\ge 2\sqrt{2(t-1)\cdot \frac{2}{t-1}}+4=2\sqrt{4}+4=4+4=8$。 当且仅当 $2(t-1)=\frac{2}{t-1}$ 即 $t=2$ 时取等号。此时 $\tan A=4,\tan B+\tan C=4,\tan B\tan C=2$，解得 $\tan B,\tan C=2\pm \sqrt{2}$，均大于 0 且满足锐角三角形条件。

故答案为 8

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 公式熟练度：本题对两角和的正切、正弦公式要求极高，且需要灵活在切、弦之间切换。
• 隐藏条件：锐角三角形隐含了“三个角的正切值均大于 0”以及“任意两角之和大于 $\frac{\pi }{2}$”，这是确定 $t>1$ 的关键。
• 代数技巧：在处理 $\frac{2t^2}{t-1}$ 时，采用“常数分离”或基本不等式配方是标准套路。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 恒等式规律： 在任意三角形中，存在恒等式：$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$。 本题实质上是求 $\tan A+\tan B+\tan C$ 的最小值。
  • 难度评价：作为填空压轴，本题没有复杂的逻辑陷阱，但计算量大，步骤环环相扣，体现了江苏卷对代数功底的重视。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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