2016-江苏卷-17 解-立体几何

本题导读

本题考查几何体的体积公式（棱柱与棱锥）、函数模型的构建。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 $P-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，下部的形状是正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$（如图所示），并要求正四棱柱的高 $O_{1}O$ 是正四棱锥的高 $P{O}_1$ 的 4 倍.

(1)若 $AB=6\text{m}$，$P{O}_1=2\text{m}$，则仓库的容积是多少？

(2)若正四棱锥的侧棱长为 $6\text{m}$，则当 $P{O}_1$ 为多少时，仓库的容积最大？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 组合体体积公式：仓库容积 $V=V_{\text{棱锥}}+V_{\text{棱柱}}=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}\cdot h_{\text{锥}}+S_{\text{底}}\cdot h_{\text{柱}}$。
2. 第一问：直接代入已知数据。注意 $AB=A_1{B}_1=6$ 为底面边长。
3. 第二问：

• 变量设置：设 $P{O}_1=x$，则 $h_{\text{柱}}=4x$。
• 寻找底面关系：在直角三角形 $P{O}_1{A}_1$ 中，利用侧棱长 $P{A}_1=6$ 和高 $x$ 求出 $A_1{O}_1$（底面对角线的一半），进而求出底面积 $S$。
• 建立函数：将 $V$ 表达为关于 $x$ 的三次函数。
• 导数求最值：求导并寻找驻点，判断单调性得出最大值点。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解： （1）由题意可知，正四棱柱的高 $O_{1}O=4P{O}_1$。 已知 $P{O}_1=2\text{m}$，则 $O_{1}O=4\times 2=8\text{m}$。 底面正方形的面积 $S=A{B}^2=6^2=36{\text{m}}^2$。 仓库的容积 $V=V_{\text{锥}}+V_{\text{柱}}=\frac{1}{3}\times 36\times 2+36\times 8=24+288=312{\text{m}}^3$。

（2）设正四棱锥的高 $P{O}_1=x\text{m}$ ($0<x<6$)，则正四棱柱的高 $O_{1}O=4x\text{m}$。 在 $\text{Rt}△P{O}_1{A}_1$ 中，侧棱 $P{A}_1=6$，则底面正方形对角线的一半 $A_1{O}_1=\sqrt{P{A}_1^2-P{O}_1^2}=\sqrt{36-x^2}$。 设底面正方形边长为 $a$，则 $a=\sqrt{2}{A}_1{O}_1=\sqrt{2(36-x^2)}$。 底面积 $S=a^2=2(36-x^2)=72-2x^2$。 仓库的容积 $V(x)=\frac{1}{3}S\cdot x+S\cdot 4x=\frac{13}{3}S\cdot x$ $V(x)=\frac{13}{3}(72-2x^2)x=\frac{26}{3}(36x-x^3)$。 对 $V(x)$ 求导： $V^{\prime }(x)=\frac{26}{3}(36-3x^2)=26(12-x^2)$。 令 $V^{\prime }(x)=0$，得 $x=2\sqrt{3}$（负根舍去）。

• 当 $0<x<2\sqrt{3}$ 时，$V^{\prime }(x)>0$，$V(x)$ 单调递增；
• 当 $2\sqrt{3}<x<6$ 时，$V^{\prime }(x)<0$，$V(x)$ 单调递减。 因此，当 $x=2\sqrt{3}$ 时，$V(x)$ 取得最大值。 即当 $P{O}_1=2\sqrt{3}\text{m}$ 时，仓库的容积最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 实际问题转化：将实物形状转化为规范的几何体模型，并找准变量间的比例关系。
• 几何量的转化：从侧棱长到边长的转化（侧棱 $\to$ 对角线一半 $\to$ 边长）是解题关键，不要直接把侧棱当成边长。
• 定义域意识：在应用题中，必须明确自变量 $x$ 的范围（本题中 $x$ 受限于侧棱长 6）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 几何意义： 当棱锥越高时，底面积会迅速减小；当棱锥越扁时，高度贡献减小。导数法正是找到了这两者权衡后的最优解。
  • 变式思考：若要求表面积最小（材料最省），则需要建立表面积关于 $x$ 的函数，计算过程会涉及根式导数，难度会进一步加大。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-04 填-球的体积
• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数

专题合集 (Series)