2016-江苏卷-18 解-向量

本题导读

本题考查圆的标准方程与几何性质、两圆的位置关系（外切）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知以 $M$ 为圆心的圆 $M:x^2+y^2-12x-14y+60=0$ 及其上一点 $A(2,4)$.

(1)设圆 $N$ 与 $x$ 轴相切，与圆 $M$ 外切，且圆心 $N$ 在直线 $x=6$ 上，求圆 $N$ 的标准方程；

(2)设平行于 $OA$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $B,C$ 两点，且 $BC=OA$，求直线 $l$ 的方程；

(3)设点 $T(t,0)$ 满足：存在圆 $M$ 上的两点 $P$ 和 $Q$，使得 $\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{TQ}$，求实数 $t$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：圆 $M$ 标准化得 $(x-6{)}^2+(y-7{)}^2=25$，半径 $R=5$。利用 $N$ 在 $x=6$ 上且与 $x$ 轴相切设出 $N(6,n)$ 及半径 $|n|$。根据外切条件 $MN=R+r$ 列方程求解。
2. 第二问：先求出 $OA$ 的长度和斜率。设 $l:y=2x+b$，利用弦长公式 $BC=2\sqrt{R^2-d^2}$，由 $BC=OA$ 反求 $d$，进而确定 $b$。
3. 第三问：向量式变形成 $\overrightarrow{TA}=\overrightarrow{TQ}-\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{PQ}$。这意味着向量 $\overrightarrow{TA}$ 与弦 $\overrightarrow{PQ}$ 相等，则其模长必须相等：$|\overrightarrow{TA}|=|\overrightarrow{PQ}|$。由于 $PQ$ 是圆 $M$ 的弦，其模长范围是 $[0,2R]$（即 $[0,10]$），由此建立关于 $t$ 的不等式求解。

✅【答案】

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因此直线𝑙的方程为2𝑥−𝑦+ 5 = 0 或2𝑥−𝑦−15 = 0

✍【详细解析】

Abstract

解： （1）圆 $M$ 方程整理为：$(x-6{)}^2+(y-7{)}^2=25$，圆心 $M(6,7)$，半径 $R=5$。 设圆心 $N(6,n)$。由于圆 $N$ 与 $x$ 轴相切，则其半径 $r=|n|$。 因为圆 $N$ 与圆 $M$ 外切，所以 $MN=R+r$， 即 $\sqrt{(6-6{)}^2+(n-7{)}^2}=5+|n|$，化简得 $|n-7|=5+|n|$。 当 $n>7$ 时，$n-7=5+n⟹-7=5$（无解）； 当 $0\le n\le 7$ 时，$7-n=5+n⟹2n=2⟹n=1$； 当 $n<0$ 时，$7-n=5-n⟹7=5$（无解）。 故 $n=1,r=1$，圆 $N$ 的标准方程为：$(x-6{)}^2+(y-1{)}^2=1$。

（2）因为 $O(0,0),A(2,4)$，所以 $OA=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$k_{OA}=\frac{4}{2}=2$。 设直线 $l:y=2x+b$，即 $2x-y+b=0$。 圆心 $M(6,7)$ 到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2\times 6-7+b|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|b+5|}{\sqrt{5}}$。 由弦长公式 $BC=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{25-\frac{(b+5{)}^2}{5}}$。 已知 $BC=OA=2\sqrt{5}$， 则 $25-\frac{(b+5{)}^2}{5}=5⟹\frac{(b+5{)}^2}{5}=20⟹(b+5{)}^2=100$。 解得 $b+5=10$ 或 $b+5=-10$，即 $b=5$ 或 $b=-15$。 所以直线 $l$ 的方程为 $2x-y+5=0$ 或 $2x-y-15=0$。

（3）由 $\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{TQ}$ 得 $\overrightarrow{TA}=\overrightarrow{TQ}-\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{PQ}$。 则 $|\overrightarrow{TA}|=|\overrightarrow{PQ}|$。 在圆 $M$ 中，弦 $PQ$ 长度的取值范围是 $[0,2R]$，即 $0\le |\overrightarrow{PQ}|\le 10$。 所以 $0\le |\overrightarrow{TA}|\le 10$。 已知 $A(2,4),T(t,0)$，则 $|\overrightarrow{TA}{|}^2=(t-2{)}^2+(4-0{)}^2=(t-2{)}^2+16$。 由 $(t-2{)}^2+16\le 10^2=100$ 得： $(t-2{)}^2\le 84⟹-\sqrt{84}\le t-2\le \sqrt{84}$。 即 $2-2\sqrt{21}\le t\le 2+2\sqrt{21}$。 对于该范围内的任意 $t$，向量 $\overrightarrow{TA}$ 的模长均小于等于直径。只需作一条长度等于 $|\overrightarrow{TA}|$ 且方向与 $\overrightarrow{TA}$ 相同的弦 $PQ$ 即可。根据圆的对称性，这样的弦必然存在。 故实数 $t$ 的取值范围是 $[2-2\sqrt{21},2+2\sqrt{21}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 几何转化的艺术：第三问中将抽象的向量加法转化为“弦长不超过直径”这一几何事实，是解题的灵魂。
• 分类讨论的严谨性：第一问去掉绝对值符号时，要分段讨论，确保不漏解。
• 公式熟练度：点到直线的距离公式和圆的弦长公式是解析几何的“两条腿”，必须走得稳。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 数形结合：
  • 向量深意： $\overrightarrow{TA}=\overrightarrow{PQ}$ 不仅要求长度相等，还隐含了方向相同。在圆中，给定长度和方向的弦是否一定存在？只要长度不超过直径，我们总能平移该向量使其端点落在圆周上。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III理-12 单-向量
• 2017-全国卷II文-04 单-向量垂直

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