2016-浙江卷文-03 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质、函数的奇偶性，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(文)） 函数 $y=\sin x^2$ 的图象是 ()

🔍【思路分析】

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1. 分析函数的奇偶性：设 $f(x)=\sin (x^2)$，因为 $f(-x)=\sin ((-x{)}^2)=\sin (x^2)=f(x)$，故该函数是偶函数，其图象关于 $y$ 轴对称，据此可排除非对称选项。
2. 代入特殊值验证：当 $x=0$ 时，$y=\sin (0)=0$，图象过原点；当 $x=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ 时，$y=\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1$，观察各选项在对应自变量处的峰值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

• 奇偶性检验：函数 $y=\sin (x^2)$ 满足 $f(-x)=f(x)$，因此该函数为偶函数，其图象关于 $y$ 轴对称。排除 A、C（A、C 为非对称或奇函数图象）。
• 特殊值检验： 当 $x=0$ 时，$y=0$，图象经过原点 $(0,0)$。 当 $x=\sqrt{\pi }\approx 1.77$ 时，$y=\sin (\pi )=0$； 当 $x=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\approx 1.25$ 时，$y=\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1$（达到第一个正向峰值）。 对比选项 B 和 D，随着 $|x|$ 的增大，由于自变量是平方 $x^2$，随 $|x|$ 增加，$\sin (x^2)$ 的振动频率会越来越快（即周期变密）。 对照选项 B 与 D 的图象特征，正确选项为 D。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 三角函数图象、函数奇偶性。
2. 核心方法: 奇偶性排除与特殊点验证法。
3. 避坑指南：注意 $y=\sin (x^2)$ 与 $y={\sin }^{2}x$ 的区别，前者自变量先平方再求正弦，周期不固定且随 $x$ 增大而变密。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数图象识别经典题。
2. 结论推广: 复合函数的奇偶性由内层和外层函数的奇偶性共同决定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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